摩擦力の働く単振動について

質問

解き方が分からなく、困っています。

質点をバネの一端に固定し、もう一端は壁に固定させ、静止摩擦係数μ、動摩擦係数μoの床上で、ｔ=0の時、x=x0、v=0で振動させます。
（自然長をｘ＝０として、バネが伸びる方向を正方向と定めます。）

・このような運動で、質点が動き始めてからバネがn回伸縮した後にx=0で静止する条件を求めよ(バネが縮み始めてから制止し、次に伸びが最大になるまでの動きを一回の伸縮とする)。
という問題があるのですが、この求め方が分かりません。

運動方程式を解いていき、n回目の振動における位置を求めたところ計算が間違えてなければ
左→右：x=(x0-((4n-3)m/μg))cosωｔ+(m/k)μg
右→左：x=(x0-((4n-1)m/μg))cosωｔ-(m/k)μg
（ω=√(k/m)）
となることはわかりました。

しかし、この後どうすればいいのかが分かりません。
とりあえずｘに0を代入することを考えたのですが、どちらの式に代入するのか、何について解けばいいのかが分からず・・・。

どなたかご回答お願いいたします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

x0が正か負かで多少途中式が変りますが、ここではx0は正であるとします。

とりあえず静止最大摩擦(つまり静止してから動き出す条件)を考えない事にします。
また質問とは異なりますが、静止するたびにその位置に番号を振り、
最大振幅で静止したときの変位の大きさをx0, x1, x2, x3, ・・・・とします。
(x0,x2,・・・はもっとも伸びたときで座標はx0,x2,・・・・、x1,x3・・・はもっとも縮んだときで座標は-x1, -x3, ・・・・)

縮むときの運動方程式は、動摩擦係数をuとしてm a = -kx + umg.。したがって、ω= √(k/m)として

x(t) = umg/k + a cos (ωt+φ)、　v(t) = - a ωsin (ωt+φ)

初期条件がx(0)=x0, v(0) = 0 からφ=0、a = x0 - umg/k。umg/kは頻繁に出てくるのでこれをdとすると

x(t) = d + (x0 - d) cos ωt

もっとも縮んだときはcos ωt=-1なので-x1 = d + (x0-d)(-1) = -(x0 - 2d)　つまり、

x1 = x0 - 2d

この後は伸びるので運動方程式はm a = -kx - umg　したがって、x1の時刻をt1として

x(t) = -d + a cos (ω[t-t1]+φ)、　v(t) = - a ωsin (ω[t-t1]+φ)

初期条件がx(t1)=-x1, v(t1) = 0 からφ=0、a = -x1+ d。したがって

x(t) = -d + (-x1 + d) cos ω[t-t1]

もっとも伸びたときはやはりcos ω[t-t1]=-1なので

x2 = -d + (-x1+d)(-1) = x1 - 2d = x0 - 4d、

以下同様にすると

x3 = x2-2d = x0 - 6d
x4 = x3-2d = x0 - 8d
・・・・・
xn = x0 - 2nd

『n回伸縮した後にx=0で静止する条件』というのがやや微妙ですが、これをn回目にx=0で停止すると解釈するとxn=0なので

x0 = 2nd = 2n umg/k

ただし、n-1回目に静止したときに最初に無視した静止最大摩擦の条件を満足する必要があります。
xn=0の場合、xn = x(n-1) -2d = 0からx(n-1)=2dとなるので

k x(n-1) =2 k d = 2umg ＞ μmg

整理すると

u ＞μ/2

という条件が必要です。

問題文の通り

＞(バネが縮み始めてから制止し、次に伸びが最大になるまでの動きを一回の伸縮とする)。

とするなら、nが偶数だけを採用してください。

以上で多分あっているとは思いますが、長いので、どこか間違っていたらご容赦ください。

お礼

なるほど、静止摩擦係数も絡んでくるのですね！
よく理解できました！！
非常にわかりやすい説明をありがとうございました。