２つのばねの弾性エネルギー

質問

物理のばねの問題で分からないところがあったので質問させてください。

僕は２ヶ月前まで物理はほとんど無勉状態だったんですが、微積を使って物理を教えることで有名な苑田さんという方の、ハイレベル物理という講座を東進で取ることにより、少しずつ物理が得意になっていきました。

初学だったのでついていくのが大変でしたが、何度も復習を繰り返すことにより、
なかなか難度の高い問題も解けるようになりました。

しかし、先ほどばねの弾性エネルギーに関する初歩的な問題でつまづいてしまいました。

問題は、

「自然長が同じで、ともにばね定数ｋの軽いばねSを２つ用意する。このばねを水平でなめらかな床の上に置かれた質量ｍの物体Pにつなぐ場合の物体Pの運動について考える。なお、以下では、ばねの伸び縮みの方向、および物体Pの運動方向は水平であるとする。

まず、図１のように、２つのSを直列につなぎ、床の左端の鉛直な壁に左側のSの左端を、右側のSの右端にPをつなぎ、２つのSの自然長からの縮みがいずれもｘ(＞０)の状態にして静止させる。この状態からPを静かに放す。

(１)　Pを放す直前に、Pに加えている水平方向の外力の大きさを求めよ。
(２)　Pを放した後、２つのSがともに自然長になる瞬間のPの速さを求めよ。
」

という問題です。

図１を模式的に表すと、|～～□　といった感じです。

(１)では、Pの水平方向のつりあいの式が、外力をFとすると0=F-kxとなり、F=kxと答えることができたのですが、

(２)では、Pの速度をv,加速度をaとすると、運動方程式はma=-kxとなるので、
これの両辺にｖをかけて、積分したmv^2/2+1/2kx^2が一定のエネルギー保存則を使うと、自然長での速さをVとしたとき、
mV^2/2+0=0+kx^2/2
よって、V=x√(k/m)

これで合っていると思ったのですが、解答を見たところ間違っていました。

解答では、「２つのSの縮みがいずれもｘのとき、２つのSにはいずれも、kx^2/2で表される弾性エネルギーが蓄えられている。よって、２つのSがともに自然長になる瞬間のPの速さをVとすると、力学的エネルギー保存則より、

mV^2/2=m/2・0+kx^2/2+kx^2/2
∴V=x√(2k/m)」

となっていました。

エネルギー保存は運動方程式から導けると習ったのですが、先ほどの僕の考え方はなぜ間違っていたのでしょうか？

運動方程式の立て方を間違えたのでしょうか？

それとも、２つのばねの場合は事情が異なるのでしょうか？

どなたかよろしければ教えてください。

回答No.1

T-gamma · ベストアンサー

便宜上、変数としての位置情報をｙ，問題文で与えられた定数（縮み）をｘとします。（まず、これが混乱してる気がします）

この場合の運動方程式は、mouiyayannさんの考えでは
my"=-ky
となるわけですよね？これがそもそも違います。

まず、ｙの定義をはっきりさせておきますが、「両方のバネが自然長であるときの物体の位置をｙ＝０として右方向を正とする」
とします。当たり前のことと思うかもしれませんが、「片方のバネの伸び≠ｙ」であることが重要です。

つまり、物体がｙの位置にいるなら、バネ２つあわせて伸び（あるいは縮み）がｙなわけです。つまり、１つのバネの負担は（1/2)ｙです。
（逆にいうと、それぞれのバネがｘ縮んでいるなy=-2xとなる）
よって運動方程式は
my"=-ky/2
となるわけです。この式から得られる部分情報の式（エネルギー保存）は、両辺にdy/dtを掛けて、整理すると
(1/2)m(dy/dt)^2+(1/4)y^2=const.
となります。
これに、初期条件であるdy/dt=0,y=-2x(←これ重要）を代入すれば答えは同じになるかと思います。

まあ、もっと単純に「直列するとバネ定数はk/2。問題文から、全体の縮みは2x」ってことが分かれば解けるんですけどね（苦笑）

お礼

ご親切な回答ありがとうございます！
疑問点が解決してすっきりしました笑

ありがとうございました！

回答No.2

T-gamma

すみません♯１です。

いつミスがあったので訂正します
(1/2)m(dy/dt)^2+(1/4)y^2=const.
↓
(1/2)m(dy/dt)^2+(1/4)ky^2=const.

バネ定数が抜けてました（汗）