自己相関関数

質問

(1)φxx(τ)＝lim1/2T∫ｘ(ｔ＋τ)dt

limはT→∞
∫は-T～T

(2)ｘ(ｔ)＝Σｃnｃｏｓ(ｎω。ｔ＋Θn)

Σの下はｎ＝１、
上は∞

(3)φxx(τ)＝Σｃn^2/2×ｃｏｓｎω。t

Σの下はｎ＝１、
上は∞

(1)に(2)を代入することで
自己相関関数(3)の式を導出せよ。
という問題なのですが…

回答No.1

BCS1957

式を簡単に書きました。(添付画像)

まず、自己相関関数ですが、
φxx(τ)＝lim1/2T∫x(t+τ)dt
ではなく、
φxx(τ)＝lim1/2T∫x(t)x(t+τ)dt
が正しい式です。

x(t)x(t+τ)の計算結果を添付画像に載せています。これをφxx(τ)の式に代入して積分を計算しますが、n=mの場合とn≠mの2つの場合に分けて計算します。

(1)n≠mの場合
　cos(nω0t+α) (αはtに依存しない定数)の形を[-T,T]の範囲で積分すると必ずゼロになります。従ってφxx(τ)=0となります。

(2) n=mの場合
　tに依存しない定数項cos(nω0τ)があるので、積分してもゼロになりません。
　素直に計算すると
φxx(τ)=ΣCn^2/2 cos(nω0τ)
が得られます。