この極限の問題の解説お願いします2。（わかり次第締め切り）

質問

lim(n→∞)sinnπ=0
sinnπがsinnπ=0になるのはどうしてでしょうか？
似たような問題で
lim(n→∞)tannπ=0
tannπがtannπ=0になるのも分かりません。
また
cosnπ=(-1)^nもです。

上の問題の発展（？）した問題の解説もお願いします。
lim(n→∞){(1/n)cosnπ/4}
の問題の解説で
-1≦cosnπ/4≦1
となっているのですが、どこから1と-1が出てきたのかが分かりません。
cos45°関係しているのでしょうか？

sinやcosやtanが出てくると全然分からなくなってしまいます。
なにか問題を解く上でコツがあれば教えてください。

回答No.5

oshiete_goo · ベストアンサー

（一般角θという意味での）実数θに対する三角関数の定義は，いろいろありますが，初等的な段階で是非覚えておくと良いものは，次のものです．
（ここでは，厳密な定義はしませんので，必要に応じて確かめておいて下さい．）

”単位円 x^2+y^2=1 上の点(x,y)=(cosθ，sinθ) [θは一般角の1つ]"．
(一般角の測り方は良いでしょうね．)

つまり，平たく言えば，『単位円上の点のx座標がcosθ，y座標がsinθ』と覚えておけば，間に合います，ついでに言えば， tanθ＝sinθ／cosθ　を定義式と思っておけば，cosθ≠０の時（θ≠(n+1/2)π，nは整数）のみ，tanθは定義されることも覚えられます．[うるさく言えば順序が逆かも知れませんが，ここでは目をつぶることにします．]

すると，x^2+y^2=1 より，[cos^2θ +sin^2θ=1 のこと] (←cos^2θ＝(cosθ)^2 などです)
常に　－1≦cosθ≦１，－1≦sinθ≦１
などは当たり前です．

また，一般には，＃３でroro02さんのアドバイスが述べられていて，重なるところもありますが，関数のグラフを大まかに書いて(証明でないので，”犯人”がどう動くか分かる程度でよい)，結果の見当(目星)をつけてから，具体的にそれを示す方法を考えるということが多くなります．
例えば，実は発散するのに，収束することを示そうとしても，無意味ですね．
つまり，(およその)結果が先に分かっていないとマズイわけです．

先の例で言えば，どうcosnπ/4が暴れても，せいぜい-1≦cosnπ/4≦1の範囲であって，(1/n)を掛けて[つまりnで割って]　n→∞　とすれば，０に収束．．．というシナリオです(はさみうちの原理でした)．

お礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございました！

回答No.4

Mell-Lily

直角三角形ABC（∠BCA=90°）において、
　sin∠ABC=CA/AB, cos∠ABC=BC/AB, tan∠ABC=CA/BC
です。

任意の整数nに対して、
　sin(nπ)=0
ですから、
　lim[n→∞]sin(nπ)=0.
任意の整数nに対して、
　tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)=0/(-1)^n=0
ですから、
　lim[n→∞]tan(nπ)=0.
また、
　sin(π/2)=1,sin(2π/2)=0,sin(3π/2)=-1,sin(4π/2)=0,…
ですから、
　lim[n→∞]sin(nπ/2)
は、発散、あるいは、振動します。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました！

回答No.3

roro02

追加です。

θがどんな値であっても
-1≦sinθ≦1
-1≦cosθ≦1
となります。この問題の場合でも45°とは関係ありません。

tanの場合はθに適当な範囲を与えてやると（正確には-π/2＜θ＜π/2でよい）tanθは全ての実数を取りえます。

一度グラフを眺めてみてください。

問題を解くコツですが、とにかく基本に忠実に！です。
定義や公式がたくさん出てきて分からない人にとっては辛い分野なのですが、慣れてしまえば点を稼げる分野です。一つずつ公式を理解していき、者にしてしまいましょう。がんばってください。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり基本は大切ですね！
復習しながらがんばっていきます！

回答No.2

Mell-Lily

nが整数ならば、
　sin(nπ)=0
です。実際、
　sin(π)=sin(2π)=sin(3π)=sin(4π)=…=0
です。tanについては、
　tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)
ですから、
　tan(nπ)=0
です。よって、
　lim[n→∞]sin(nπ)=0
　lim[n→∞]tan(nπ)=0
です。cosについては、
　cos(π)=-1,cos(2π)=1,cos(3π)=-1,cos(4π)=1,…
ですから、
　cos(nπ)=(-1)^n
です。
　-1≦cosx≦1
　-1≦sinx≦1
は、xの範囲によらず、成り立ちます。よって、
　-1≦cos(nπ/4)≦1
です。

まず、基本をしっかり押さえましょう。sin,cos,tanの定義は、分かりますか？

補足

早速の回答ありがとうございます。
sin(nπ)=0
sin(180°)n=sin(0)n
より
lim(n→∞)sin(0)n=0
て感じでよいのでしょうか？

sin{n(π/2)}の時は
sin(90°)n=sin(1)n=∞
こんな感じでしょうか？

cos(π)=-1
cos(180°)=-1

cos(2π)=1
cos(360°,0°)=1

これより
tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)は
0/(-1)^n=0
でいいのでしょうか？

>sin,cos,tanの定義は、分かりますか？
正直言って分かりません。
ご教授よろしくお願いします。
補足がわかりにくくてごめんなさい。

回答No.1

roro02

三角関数のごくごく基本です。

当然の前提としてｎを自然数とします。
sinπ=0は分かりますか？　sin2π=0は大丈夫ですか？
三角関数は周期2πですから、sinnπ=0です。

tan、cosについても同様です。

>-1≦cosnπ/4≦1
>となっているのですが、どこから1と-1が出てきたのかが分かりません。
三角関数の定義です。
三角関数の定義・・・直角三角形の２辺の比
cosの場合分母を斜辺にしていますから、絶対値が１を超えないのは当然です。
その他、三角関数表や三角関数のグラフを眺めてみてください。