この等式に何の意味が・・・．

質問

非線形振動で平均法というものを習っています．
その中で何を意味するのかわからない等式が出てきたのでここで質問させていただきます．
その等式の導出は以下の通りです．

次の式を考えます．
x = X cos(ωt + φ)　・・・(1)

式(1)をtで微分すると次のようになります．
dx/dt = -Xω sin(ωt + φ) ・・・(2)

ここで，Xとφが時間変化することを考えます（X = X(t), φ = φ(t)）．
これらをそのまま式(2)へ代入すると次のようになります．
dx/dt = -X(t)ω sin(ωt + φ(t))・・・(3)

一方，式(1)においてXとφが時間変化することを考慮してtで微分すると次のようになります．
dx/dt = dX(t)/dt ω cos(ωt + φ(t)) - X sin(ωt + φ(t)) * (ω + dφ(t)/dt) ・・・(4)

式(3)と式(4)より
dX(t)/dt ω cos(ωt + φ(t)) - X dφ/dt sin(ωt + φ(t)) = 0　・・・(5)
が導かれます．

そもそも式(3)が本当に正しいやり方なのかも疑問なのですが，この式(3)と式(4)を比較して導かれた式(5)は一体何を意味しているのでしょうか．
また式(5)は数学的に普遍的に成り立つ式なのでしょうか．
私には見当もつかないのでどなたか詳しい方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです．

回答No.1

TM_macchan · ベストアンサー

問題がよく分からないですが、おそらく、ｘ（ｔ）はほとんど正弦波だが微小なノイズが重畳されたようなものでしょうか。

式(3)は、Ｘとφは、系の時間スケールではほとんど定数とみなせるとして式(4)を近似する（左辺から微分の項を落とす）ことでも導かれますね。

dX(t)/dtの項（Ｘの振動の激しさ）とdφ(t)/dtの項（φの振動の激しさ）が小さい、つまり、Ｘとφが、今問題にしている時間スケールよりも微小な時間スケールで振動するという仮定が置かれているのだと思います。

この仮定が正しい、つまり、式(3)の近似が正しく成り立つためには、
式（3)と式(4)とは同じ現象を表現することが必要ということ、つまり、式(3)の左辺のdx/dtと、式(4)の左辺のdx/dtとは同じ値であるべき。

お礼

早速の回答ありがとうございます．
納得することができました．
Xとφの時間変化が小さいなら，式(3)と式(4)は同等である必要があり，そうして導かれた式(5)はそんなXとφが満たすべき条件式なんですね．