自己相関関数とパワースペクトル密度関数、フーリエ変換について。

質問

自己相関関数とパワースペクトル密度関数、フーリエ変換について。
パワースペクトル、パワースペクトル密度と自己相関関数についての質問です。

（tは時間、hは次数、fは周波数として）

ある信号x（t）の自己相関関数r（h）をフーリエ変換すると、その信号のパワースペクトル密度関数p（f）になるとネットにあったのですが、パワースペクトル密度関数p（f）と、信号x（t）をそのままフーリエ変換して得たパワースペクトルX（f）はどう違うんでしょうか。

ちなみに数学的な話というよりはコンピュータ上の処理（離散値）で考えています。

もともとパワースペクトルが『自己相関関数の離散フーリエ変換として定義される』と本にはあったのを読みました。

しかし同じ本の中に、『自己相関関数のフーリエ変換は正しくはピリオドグラムと言い、パワースペクトルとはピリオドグラムの平均値で求められる』とも書いてありました。

パワースペクトルとパワースペクトル密度関数はいったいどう違うのか…？とずっと考えているのですが分かりません。

あと（自己、相互）相関関数と（自己、相互）相関係数にはどのような関係があるのですか。回答よろしくお願いします。

前回１つ回答頂いたんですが解決できなかったのですみません、もう一度お願いします。

回答No.1

chiezo2005 · ベストアンサー

http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai2/class/spec/07auto.pdf
の8ページ、9ページに
パワースペクトルG(ω）
自己相関関数R(ω）
信号のフーリエ変換F(ω）
の関係が書いてあります。

パワースペクトルを求めるのに自己相関関数を使うのは
原信号は-無限大から+無限大まで分布してますが、
自己相関関数は普通は0の周りに局在していますから計算が圧倒的に楽ですね。

上記の定義からわかるように、これらの関数はすべてある確定した原信号に対して定義されています。
ピリオドグラムという考え方は、原信号がいくつかあったときにその平均的な見方をした場合に定義される量です。

確率過程と見なされる原信号があったときに、上記自己相関関数などを原信号の母集団のなかで平均操作したものとお考えください。

相関関数と相関係数の違いですが、特定の値についての相関関数が相関係数だと考えればよいと思います。
たとえば同時刻の信号Xと信号Yの積の平均値などが相互相関係数に該当します。
相関関数を扱っているときには相関係数というものを考える意味はないと
思います。

また、自己相関係数というのは常に１で考える意味がないと思います。

お礼

ありがとうございました。相関関数と係数が式でどのようなつながりがあるのかこの前なんとなく分かりました。