確認のための計算が正しいかどうかわかりません

質問

ある本に従って、確認の計算をしています。
dY(t)/dt=(1/τ1)*[T(t-δ)-X(t-δ)]+γ*[dT(t-δ)/dt] ・・・<1>、
dX(t)/dt=(1/τ2)*[Y(t-ξ)-X(t)] ・・・<2>
上記の<1><2>式において、定数τ2のゼロの極限をとり、かつ、η=δ+ξとすると、
τ1*[dX(t)/dt]=[T(t-η)-X(t-η)]+γ*τ1*[dT(t-η)/dt] ・・・<3>
という式が導出されると本に記述されています.

そこで私は<2>式を Y(t-ξ)＝・・・ に変形して、τ2のゼロの極限、
lim(τ2→0)[Y(t-ξ)]=lim(τ2→0){X(t)+τ2*[dX(t)/dt]}=lim(τ2→0)X(t) ・・・<4>
と導き出し、さらに、<1>式をt=t-ξと置き、<4>式から
lim(τ2→0)[dY(t-ξ)/dt]=lim(τ2→0)[dX(t)/dt]=lim(τ2→0)(1/τ1)*[T(t-η)-X(t-η)]+γ*[dT(t-η)/dt] ・・・<5>
この<5>式からlim(τ2→0)をはずし、両辺にτ1をかけることで、<3>式を導出しました.
私の導出方法は正しいのでしょうか？

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

<2>で　dX(t)/dt　が有限の値をとる（<4>の変形が可能）なら、
τ2→0のとき、Y(t-ξ)-X(t)=0

dX(t)/dt=dY(t-ξ)/dt=(1/τ1)*[T(t-ξ-δ)-X(t-ξ-δ)]+γ*[dT(t-ξ-δ)/dt]
=(1/τ1)*[T(t-η)-X(t-η)]+γ*[dT(t-η)/dt]
これから、
τ1*[dX(t)/dt]=[T(t-η)-X(t-η)]+γ*τ1*[dT(t-η)/dt] ・・・<3>
となるので間違ってはいないと思います。
ただ、<5>式には、τ2が式中にないので、limつける必要もないような？

また、dX(t)/dtが、すべてのｔで無限大が許されるなら、<4>の変形は
できないことになるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます.