方程式を作ったのですがとけません・・・（計算力不足です＞＜

質問

x=1で極大値6　x=2で極小値5をとるような三次関数を求めよという問題です。
そして三次関数をax^3+bx^2+cx+dとしました。

そうすると
a+b+c+d=1
3a+2b+c=0
8a+4b+2c+d=5
12a+4b+c=0
という式をたてることができました。
この先がわからないんですがどうしたらとけるでしょう＞＜

回答No.1

kaminosuke · ベストアンサー

その４式があっているとすると、
a+b+c+d=1……(1)
3a+3b+c=0……(2)
8a+4b+4c+d=5……(3)
12a+4b+c=0……(4)として
(1)ー(3)をしてa,b,cの式ができるのでこれを(5)とします。
次に3*(2)ー(5)、3*(4)ー(5)をするとa,bの二次方程式ができると思います。そこからa,bが求まりますよね。
後は順々に式にa,bを代入してください。
間違ってたらすいません。

回答No.9

info22

#7です。
> 2x^3 -9x^2 +12x +1 = 0
y=f(x)=2x^3 -9x^2 +12x +1
でしたね。

回答No.8

yhposolihp

（１）

　f'(x)=6k(x-1)(x-2)=6k[(x^2)-3x+2]

　f(x)=6k[(1/3)(x^3)-(3/2)(x^2)+2x]+C
　f(x)=k[2(x^3)-9(x^2)+12x]+C

　f(1)=k[2-9+12]+C=6
　　　　　　　　　　　5k+C=6

　f(2)=k[16-36+24]+C=5
　　　　　　　　　　　4k+C=5

　　　　　　　　　　k=1, C=1

　f(x)=[2(x^3)-9(x^2)+12x]+1
　　　　=2(x^3)-9(x^2)+12x+1

---

（２）

　f(x)=a(x^3)+b(x^2)+cx+d
　f'(x)=3a(x^2)+2bx+c

（Ａ）　f'(1)=3a+2b+c=0
（Ｂ）　f'(2)=12a+4b+c=0
（Ｃ）　f(1)=a+b+c+d=6
（Ｄ）　f(2)=8a+4b+2c+d=5

（Ａ）（Ｂ）より、cを消去して、
　　9a+2b=0　　（Ｅ）

（Ｃ）（Ｄ）より、dを消去して、
　　　　　7a+3b+c=-1
（Ａ）と連立して、cを消去して、
　　　　　　3a+2b+c=0
　　　4a+b=-1　
両辺を２倍しておいて、　　
　　8a+2b=-2 （Ｆ）

　　（Ｅ）（Ｆ）より、a=2, b=-9

（Ａ）に代入して、
　　　6-18+c=0, c=12

これらを（Ｃ）に入れて、
　　　2-9+12+d=6, d=1

よって、
　f(x)=a(x^3)+b(x^2)+cx+d
　　　=2(x^3)-9(x^2)+12x+1

回答No.7

info22

> a+b+c+d=1
> 3a+2b+c=0
> 8a+4b+2c+d=5
> 12a+4b+c=0
の4個の式は合っていますか？
この連立方程式を解くと
(a,b,c,d)=(-8,36,-48,21)
となりますが、
a=-8＜0 で明らかに間違いですね。
a＞0　でないと題意のような3次式のグラフになりませんね。

質問者さんの解答の途中計算が書いてないのでチェックができないですね。
ちゃんと計算すれば、正しい連立方程式が立てられ
2x^3 -9x^2 +12x +1 = 0
が導けるはずです。

回答No.6

take_5

＞「 f'(x) は x=1,2 を解として持つ」⇔

ならば、そんな遠回りをしないで、f'(x)＝3ax＾2+2bx+c＝0の2つの解が1と2であるから、解と係数の関係より、1+2＝-（2b）/（3a）、1*2＝c/3aとすれば良い。

回答No.5

phusike

一応、原理的には解けますが、
あまり上手いやり方ではないですね^^;

ここで、
「 f(x) は x=1 で極大値、 x=2 で極小値をとる3次関数」⇔
「 f'(x) は x=1,2 を解として持つ」⇔
「 f'(x) = 6a(x-1)(x-2) = 6a x^2 - 18a x + 12a とおける」⇔
（6aとおいたのは後で式を簡単にする工夫ですが）
「 f(x) = 2a x^3 - 9a x^2 + 12a x + C とおける」
に気付くと、未知数が2つに減って素早く解けます。

回答No.4

noname#101087

>x=1で極大値6　x=2で極小値5をとるような三次関数を求めよという問題です。
>そして三次関数をax^3+bx^2+cx+dとしました。そうすると
>a+b+c+d=1
>3a+2b+c=0
>8a+4b+2c+d=5
>12a+4b+c=0

一つだけ異見のある式。
a+b+c+d=6

あとは消去法でも。

第二式から、
　c=-3a-2b
第四式へ代入、
　12a+4b-3a-2b=0
　9a=-2b

第一・三式も同様に処理して、パラパラ解けそう。

回答No.3

happy2bhardcore

2です。
すいません。計算ミスしまくってます、無視してください

回答No.2

happy2bhardcore

a+b+c+d=1
3a+2b+c=0
8a+4b+2c+d=5
12a+4b+c=0
だけ解説。上から順番に1,2,3,4式とすると、

3-1
⇔7a+3b+c=-4 ・・・・5式
5-2
⇔3a+b=-4・・・・6式
4-5
⇔5a+b=4・・・・7式
7-6
⇔2a=8　∴a=4

あとは代入していけば求められるはずです。