平方根の入った式

質問

X=√２－１のとき
X＾5＋1/（X＾5-1）の解を教えてください。
また、その解き方を教えてください。

回答No.4

alice_44

あれ？
x^5 = (x^4)x = (-12x+5)x = -12x^2 + 5x = -12(-2x+1) + 5x = 29x - 12.
じゃん。ださださ。

回答No.3

mister_moonlight

ひたすら計算するだけなら、思考はいらない。
どのようにしてsimpleに解くか、そこから思考力が生まれる。
いずれにしても、次数を下げる事になるが、どのようにして次数を下げるか？
方法はいくつかある。

X＋1=√２　の両辺を2乗すると、x＾2＋2x-1＝0
実際に割り算をしてみると、x＾5＝(x＾2＋2x-1)*(x＾3-2x＾2＋5x-12)＋29x-12＝29x-12。
よって、分母＝29x-13.分子＝29x-11　となるから、それに x＝√2-1　を代入して、結果を有理化するだけ。

実際の計算は、自分でやって。

回答No.2

info22_

計算間違いしないようにひたすら計算するだけの問題です。

X=√2-1
X^2=3-2√2
X^4=17-12√2
X^5=X・X^4=(√2-1)(17-12√2)=29√2-41
(X^5+1)/(X^5-1)
=(29√2-40)/(29√2-42)　←分母の有理化
=(29√2-40)(29√2+42)/(2・29^2-42^2)
=(2・29^2-40・42+2・29√2)/(2・29^2-42^2)
=-(1+29√2)/41

回答No.1

alice_44

√2 - 1 が、整係数二次方程式の解になることは、
解の公式を見慣れていれば、気づくと思います。
x = √2 - 1 であれば、x^2 + 2x - 1 = 0 です。
この二次式を使って、式中の x の次数を下げる
ことができます。例えば…
x^4 = (x^2)^2 = (-2x+1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 4(-2x+1) - 4x + 1 = -12x + 5.
x^5 = (x^4)x = (-12x+5)x = -12x^2 + 5x = -12(-2x+1) + 5 = 24x - 7.
与式へ代入すれば、分子分母が x の一次式になります。
その時点で具体的な x = √2 - 1 を代入し、後は
分母の有理化をすれば完了です。