２次元の連立方程式 （固有値問題の変形）

質問

いま、取り組んでいる問題が下記の形に帰着できたのですが、
それから先に進まず困っております。

■問題
　A：　2x2 の実対称行列
　x, b：　2 次元の列ベクトル。 ただし x の大きさは１．（ x・ｘ = 1 ）
　λ：　実数

　A, b が与えられるとき、 A x + b = λ x から、ベクトル x を求めたい。
　（λは求まらなくても良い）

■考えたアプローチ
　１． b = 0 なら、通常の２次元の固有値問題だがそれとは違う。
　２．数式ソフトで力づくで解くと、結果が複雑すぎて利用できない。
　３． B = A - λ E として、B の逆行列を C とし、 x = - C b。
　　　x ・ x = 1 から、λを求めて x　を算出する、
　　　この方法は、２と同様に表現が複雑すぎて行き詰りました。

実際には、A や b の値が与えられたら、上記の 2 や 3 の方法で、
解いていくしかないのでしょうか。
それとも、もっと、別な見通しの良いアプローチがあれば教えてください。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

ちゃんと考えてないですが、
A'=PAP^tが対角行列であるような直交行列Pに対して、x'=Px, b'=Pbとでもおいてやれば、
A'x' +b' =λx'
x'・x'=1
となるようなx'(とλ)を求める問題に帰着します。
問題としてはAの部分が対角行列になっただけですが、Aが対角行列なら比較的簡単に解けるような気がしますが、いかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
直交行列でベクトルを回転すると、かなり簡単になりますね。
ここから、アプローチ２や３をやってもやっぱりダメでした。
他にも３時間くらい考えていろいろやりましたが、今のところ
良いアイディアは出ていません。

でも、回転したことで、図形で考えることができました。
楕円の大きさが λ で変更されるので、
点 -b' が楕円に乗るように、λを決める、という問題ですね。

解析的な方法はあきらめて、λの値を変えながら
探索で上記の方法でλを決める「妥協」も考えてます。。。。

ただ、もちろん、実際上プログラム可能な
解析的なアプローチがあればベターなので、もう少し考えます。
もし、さらにヒントやアイディアが見つかれば
また、教えてください。

回答No.4

eatern27

あぁ、アプローチ2,3の複雑ってのは計算じゃなくて結果だったんですね。
であればそもそも解そのものが複雑なんですから、計算方法を変えたって同じ結果にたどり着くだけですよね。別のアプローチを考えて何をしたいのでしょう？どうしても解析解が必要だと言うのならその複雑な解で満足するしかありません。

数値解で十分ならばニュートン法や二分法のような簡便な方法でも比較的短時間で十分な精度で方程式の解が出せるんじゃないですかね。

お礼

そうですね。結局は自分が何をしたいのか、もう一度考え直してみます。

ただ、数値解を出すのにも、教えていただいたアプローチで、
式を簡単にしてから実施した方がよさそうなので、
教えていただいたことは、役立ちました。
ありがとうございました。

回答No.3

ur2c

> 「A や b の値が与えられたときに x を出力する手順」を資料にまとめて説明し、また、プログラムを書こう

A, b が数値としてあたえられるのなら、先に示した手順で、できてます。Maxima に不要な所があったので、訂正しておきます。

(%i1) M : matrix([A11-k,A12],[A12,A22-k]);
(%i2) c : matrix([-b1],[-b2]);
(%i3) x : ratsimp(M^^-1 . c);
(%o3) matrix([-(b1*A22-b2*A12-b1*k)/((A11-k)*A22-A12^2-k*A11+k^2)],[(b1*A12-b2*A11+b2*k)/((A11-k)*A22-A12^2-k*A11+k^2)])
(%i4) f : ratsimp(transpose(x).x);

あとは A, b の数値を与えて、f = 1 を k について解けば良い。ただし、k が実数になる保証はありません。だから、一般には解がないです。

お礼

訂正ありがとう御座います。
参考にさせていただきます。

解がない場合もあるのですね。それは注意したいと思います。

回答No.1

ur2c

やりたいこと自体は簡単なので、「結果が複雑すぎて利用できない」という部分が問題なのだろうと思います。なぜ閉形式解が必要なのか、どうなれば利用できるのかなど、実質的な要求仕様がわからないので「閉形式の解を求める限り、複雑になるのはしかたがない」くらいの不毛なことしか言えません。

やってはみましたので、ご参考までに。あなたの計算とほとんど同じでしょうけど。

A x + b = λ x

なので

k := λ
M := A - k I
c := -b

として

M x = c

を Maxima で解くと

(%i1) M : matrix([A11-k,A12],[A12,A22-k]);
(%o1) matrix([A11-k,A12],[A12,A22-k])
(%i2) x : matrix([x1],[x2]);
(%o2) matrix([x1],[x2])
(%i3) c : matrix([-b1],[-b2]);
(%o3) matrix([-b1],[-b2])
(%i4) s: ratsimp(M^^-1 . c);
(%o4) matrix([-(b1*A22-b2*A12-b1*k)/((A11-k)*A22-A12^2-k*A11+k^2)],[(b1*A12-b2*A11+b2*k)/((A11-k)*A22-A12^2-k*A11+k^2)])

これでとりあえず解が求まりました。検算すると

(%i5) ratsimp(M . s);
(%o5) matrix([-b1],[-b2])

で、合ってます。あとは s の長さが 1 になるように k を調整すれば良い。

(%i6) ratsimp(transpose(s).s);
(%o6) 長いので省略
(%i7) solve(%=1,k);

ここで

<< Expression too long to display! >>

と言われます。

お礼

回答ありがとうございます。
私の要望が不明確ですみません！

具体的には、「A や b の値が与えられたときに x を出力する手順」を
資料にまとめて説明し、また、プログラムを書こうと思っています。
そのための具体的な手順が必要になります。
アプローチ２や３の　「複雑すぎて」　とは、資料化やプログラム化に
利用できない、という意味でした。

私は Wolfram Alpha を使ってみましたが、やっぱり、
Maxima でも同様になりますね。
自分でもう少し考えてみます。。。