最適化問題について質問

質問

xが３次元ベクトル（ｘは方向を表すベクトルとするのでｘのノルムは１です）、またAが３×３の対称行列である時、J=ｘ’Axとします。

このとき、Jを最大にするｘはAを固有値分解し、大きい方の固有値に対応する固有ベクトルであるらしいのですが、これが何故かわかりません。

詳しく説明しているサイトでもいいので是非教えてください。

回答No.2

Tacosan

相異なる固有値に属する固有ベクトルの族はそれぞれ線形部分空間をなし, またこれらの部分空間同士は直交します. このことを使うと, 例えば 3次行列 A に対して固有値 λ_i に対する固有ベクトルを x_i とおくと任意のベクトル x は x = Σ(i: 1～3) a_i x_i と書くことができ, しかも
J = x' A x = Σ(i: 1～3) λ_i a_i^2 |x_i|^2
となります. 各 x_i は正規化 (ノルムが 1) されているとすると Σ(i: 1～3) a_i^2 |x_i|^2 = 1 ですから, 要するに
max λ_1 y_1 + λ_2 y_2 + λ_3 y_3 s.t. y_1, y_2, y_3 ≧ 0, y_1 + y_2 + y_3 = 1
を求めればよくその結果は λ_i の最大値となります. このとき対応する y_i だけ 1 となり, これは x が λ_i に対応する固有ベクトルであったことを意味します.

回答No.1

pocopeco

固有値をa とすると

Ax=ax

だから　J=x'Ax=x'(ax)=a(x'x)=a

となります。
固有値が３種類、a1,a2,a3とあれば、
それぞれ固有ベクトルに対して計算すると、
　J=a1 J=a2 J=a3
となるからです。