固有値に関する問題

質問

固有値に関する問題ですが、

　　　｜2 -1 0|
Ａ＝｜5 -3 -1|
　　　｜-3 2 1|

という行列に対して、線型写像fをf:R^3→R^3、f(x)=Ax(xはR^3の元)とします。

（１）Ａの固有値、固有ベクトルは？
（２）R^3の部分空間f(f(R^3)の基底は？

という問題なのですが、（１）に対しては、固有値をλとすると、
　　固有多項式　：　λ^3=0　　固有値　：　λ=0
　　固有ベクトル　：　t(-1 -2 1)
となると思います。しかし、固有ベクトルが１つしか求めることがでず、対角化できません。この場合（２）の問題に対して、（１）の問題は関連性はないのでしょうか？そんなわけがないと思い、いろいろ考えてはいるのですが、いまいち問題の意図するところがつかめません。どなたかアドバイスをいただけないでしょうか？

回答No.1

drdevil

具体的に f(R^3) や f(f(R^3)) が R^3 の中でどういう部分集合 (部分空間) になるか計算して確かめてください．特にその次元に着目です．私見ではいい問題だと思います．

お礼

お返事ありがとうございます。単純に基本変形を施して、 f(R^3) と f(f(R^3)) の基底を計算してみました。

） f(f(R^3)) の場合　　　t(1 0 1)
）f(R^3)の場合　　　 t(-1 -2 1)

となり、ともに次元は１となりますが、これは、（１）の問題で固有値が１つしかないということに関係しているのでしょうか？察しが悪くて申し訳ないのですが、ご教授いただけますでしょうか？