★☆ 固有値の求め方 ☆★

質問

以下の対称行列の固有値が求められません。aとbは実数です。
det(λE-A)を計算すると、見にくいですが・・
-3λb^2+3ab^2+λ^3-3aλ^2+3λa^2-a^3-2b^3
になりました。なんとかしてこれが０になるようなλの値を見つけたいのですが、うまくいきません。
高校のときにならった剰余の定理（だったかな？）で上の式を割り切れる多項式をみつけて、とりあえず二つの式の掛け算に変えてみようと思いました。そこで、上の式に実数(a、b、-a、-b)を代入してみたんですけど０にできなくて・・。この式は割り切れないのでしょうか・・
どうすればdet(λE-A)＝０のλを見つけられますか？
もしかして、対称行列の固有値を求めるときは他の簡単な方法があったりするんでしょうか！？

(a b b)
(b a b)
(b b a)

よろしくお願いします！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>どうすればdet(λE-A)＝０のλを見つけられますか？

固有方程式を展開した式
(λ-a)x-by-bz=0
-bx+(λ-a)y-bz=0
-bx-by+(λ-a)z=0
を全部加えると
(λ-a-2b)(x+y+z)=0と出てきますから
固有値の１つが
(λ-a-2b)=0からλ=a+2bであることが分かります。

つまり
det(λE-A)が因数(λ-a-2b)で割り切れることが分かります。

det(λE-A)がλの3次式で(λ-a-2b)を括りだすと残りの因数はλの2次式になるので、簡単に因数分解が出来ます（分からなくても2次方程式の解の公式で因数分解できる）。
det(λE-A)=(λ-a-2b)(λ-a+b)^2
これから固有値λ=a+2b,a-b(重解)が得られます。

お礼

(λ-a-2b)で割り切れたんですね・・こりゃヤマカンでは無理でした・・

最初の固有方程式を展開した式
(λ-a)x-by-bz=0
-bx+(λ-a)y-bz=0
-bx-by+(λ-a)z=0
がどうやって出されているのか教えていただけますか？？

補足

すみません、わかりました（笑）

回答No.4

info22

#2です。
A#2の補足の質問の回答

>最初の固有方程式を展開した式
>(λ-a)x-by-bz=0
>-bx+(λ-a)y-bz=0
>-bx-by+(λ-a)z=0
>がどうやって出されているのか教えていただけますか？？

一行目に書いた通りじゃないですか?
固有値の定義式そのものを書き下しているだけということがお分かりになりませんか？

λX-AX=0　⇔　(λE-A)X=0
X=[x,y,z]^t　（[]^tは転置を表す。Xは列ベクトル）
この式と上の3つの式をよ～く見比べてみてください。
行列による連立方程式を、行列を使わないで表現しただけの式です。

お礼

すいませんお礼をした後に自分でも気づいたんですが取り消せなくて・・。
ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

パッと見て思いつき易いのは、むしろ
固有値 a-b のほうではないですか？
A-λE の成分が全て b になるから、
b ≠ 0 なら rank(A-λE) = 1 であることが
すぐ判る。よって、
固有値 λ = a-b は 2 次元の固有空間を持ち、
重根である。

固有多項式を (λ-a+b)~2 で割って
もう一つの固有値を求めても良いし、

同様にヤマカンで、λ = a+2b に気づいても良い。
A-λE の具体的な形を思い浮かべるのが、
ポイントでしょう。

回答No.1

orcus0930

とりあえず、固有方程式から固有値を探すのもよいですが、
固有ベクトルを適当に決めてみて、固有値を探すことも試してみましょうね。
この場合、固有ベクトルを(1,1,1)^Tとすれば、a+2bが固有値であることがわかります。
あとはこれを用いて固有方程式を解けばいいですよね。