対称行列 固有値

質問

次の２問をお願いします。

（１）Ａを２次の対称行列とする。Ａの二つの固有値が一致するならばＡ=λIであることを示せ。

（２）Ａを２次の対称行列とする。またλをＡの固有値、vベクトルをλに対するＡの固有ベクトルとするとき、wベクトル＝Ｒ(π／2)vベクトルはＡのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。
Ａ＝ a b vベクトル＝v1
c d v2 と成分表示する。

見づらいと思いますが、よろしくお願いします。

回答No.1

think2nd · ベストアンサー

ちょつと　説明も　雑ですね。
(１),(2)とも高校レベルです。
　逆質問　　1.　Ｉ　
　　　　　　２．Ｒ(π／2)
　　　　　　３．Ａ＝ a b vベクトル＝v1
　　　　　　　　c d v2 と成分表示する。
　　　　上記の　１．２．３．ってなんですか。Aの要素は実数としていいですか。
　さて　Ａは対称行列だから
　　A={(a,b),(b,c)}
　とおきます。　おそらくIは2次の単位行列でしょう。

（１）Ａを２次の対称行列とする。Ａの二つの固有値が一致するならばＡ=λIであることを示せ。
　　　Ａの固有値をλとする。λは
　　　　(a-λ)(c-λ)-b^2=０
　∴　λ^2-(a+c)λ+(ac-b^2)=0・・・(1)　を満たすが解λが重解だから、判別式D=0　。
　　　　D=(a-c)^2+b^2=0　よってa=cかつb=0
　　　　　(1)に代入して整理すると　(λ-a)^2=0　よりλ=a
　よつてA={(a,b),(b,c)}　={(a,0),(0,a)}=λ{(1,0),(0,1)}=λＩ　

（２）Ａを２次の対称行列とする。またλをＡの固有値、vベクトルをλに対するＡの固有ベクトルとするとき、wベクトル＝Ｒ(π／2)vベクトルはＡのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。

　Ｒ(π／2)は原点の周りの±90°回転を表す一次変換だと思う。
　→v,→wを成分で表して、Ａで移される２つの点と原点とを結ぶ線分の傾きを求めて、傾き同士の
　積が－１となることを示せば、いいことのような気がする。

　別解として固有ベクトル　→wの固有値をβとする。
　(λ≠βが仮定されていることも重要です。)
　　　A(→v)=λ（→v)・・・(3)
　　　Ａ(→w)=β(→w)・・・(4)
　Ａは対称行列だから　(A(→v),(→w)）=　((→v),A(→w)）　［　注　内積を（　，　）で表した］
　が成り立つから。　（注　この性質も　ベクトルを成分で表して右辺と左辺の内積をとれば、
　　　　　　　　　　等しいことが分かる。）
　　　　　(A(→v),(→w)）=　((→v),A(→w)）
　　　　　　λ（→v)・(→w)=　(→v)・β(→w)　移項して整理すると、
　　　　(λ－β)（→v)・(→w)=０

　　　　λ≠βより（→v)・(→w)=０
　すなわち２つの固有ベクトルの内積が０だから、一方は他方と90°で交わる。
　以下まとめて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございました。