数学の行列(連立一次方程式)の問題です。

質問

実対称行列Aについて、次の問いに答えよ。ただし、

A=
2 -1 0
-1 3 -1
0 -1 2

である。

λをdet(λI-A)≠0を満たす実数とする。ただし、Iは3×3の単位行列であり、
det(λI-A)は(λI-A)の行列式を表す。ここでベクトルxを一次方程式

(λI-A)x=b

の解とする。ただし、

b=(3 -1 1)^T

である。(Tは転置の意味である。)このときx^Txが以下の式で表されることを示せ。

x^Tx=3/(λ-1)^2+2/(λ-2)^2+6/(λ-4)^2

という問題です。

私の考えた解法は、
x=(x1 x2 x3)^Tとおき、クラメルの公式をつかってx1、x2、x3をそれぞれ求め、xとし、それを転置したx^Tとを掛け合わせるという方法なのですが、これだと答えが合いません。

どなたかご教授下さい。よろしくお願いいたします。

行列の書き方がわかりづらくてごめんなさい。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

超蛇足： 個人的な反省の結果を書いてみます。

No.3～5 の仰るとおり、固有値固有ベクトルを求めることが必要です。
A の対角化 A = PD(P^-1) を求めたら、
λI-A の対角化が λI-A = P(λI-D)(P^-1) になることから、
y = (P^-1)x と置いて y の方程式 (λI-D)y = (P^T)b を解き、
x^T x = y^T y を用いて答えを計算すればよいのでしょう。

＞ 実対称行列の固有ベクトルが互いに直交することに注意
というのは、
x^T x = y^T P^T P y = y^T P^-1 P y = y^T y のことですね。

お礼

解くことが出来ました。ありがとうございます。

回答No.6

alice_44

A No.1 No.2 が、何だかあまりにも見当違いだったので、
笑って忘れてください。申し訳ありませんでした。

回答No.5

Tacosan

ん～と, まず A の固有値・固有ベクトルがわかっているなら λI-A の固有値・固有ベクトルは簡単にわかる. つまり
Ae = αe (α は A の固有値)
とすると
(λI-A)e = (λ-α)e
だよね.

で今の問題に戻ると, x や b を λI-A の固有ベクトルの線形結合で書く. すると x は容易に (固有ベクトルの線形結合として) 求まるし, それを x^T x に代入して計算すれば求める答が出てくる (実対称行列の固有ベクトルが互いに直交することに注意).

お礼

どうもありがとうございます。なんとか解けました。

回答No.4

Tacosan

あ～なるほど～.

とすると, 問題製作者の意図は
固有値・固有ベクトルを使う
ところかな.

A の固有値・固有ベクトルはわかってるんだよね. λI-A の固有値や固有ベクトルはわかりますか? b を, その固有ベクトルの線形結合で書けますか?

お礼

λI-Aの固有値、固有ベクトルを求めようとするとうまく求められませんでした。
これらが求まるとうまくいきますか？

回答No.3

Tacosan

ちょっと確かめてみましたが, 計算を間違えなければ x を求めて x^T x を計算するという方針で示せるはずです.

あるいは A の固有値・固有ベクトルからなんかするとか.

お礼

質問に答えてくださってありがとうございます。

そうですか。ではもう一度計算してみます。

実はこの問題は大問の(3)でして、(1)では固有値、固有ベクトルを求め、(2)では対角化を行い、A^nを求めております。A^2なんかをうまく使うのですかね。。。

回答No.2

alice_44

あ、いけね。ケイリー・ハミルトンじゃ、0=0 になっちまうな。
(λI-A)x=b から (x転置)((λI-A)2乗)x=(b転置)b が成り立つ。
この式の (λI-A)2乗 を展開して、Ax=λx を使って A を消し、
後は、(x転置)x= の形へ変形すればいい。

お礼

質問に答えてくださってありがとうございます。

>>(λI-A)x=b から (x転置)((λI-A)2乗)x=(b転置)b が成り立つ。

とありますが、なぜこのような関係が成り立つのでしょうか？もし基本的な定理等であれば無知をお許し下さい。

回答No.1

alice_44

A についてのケイリー・ハミルトンの定理の式を書き下し、
その式の両辺に、右から x、左から x の転置を掛けよ。
後は、式を (x転置)x= の形へ変形するだけ。