固有ベクトルを求める問題

質問

行列A ( 2 0 0 )
　　 ( 1 3 1 )
　　 ( 0 0 2 )
の固有値と固有ベクトルを求める問題です。
↓のように解いていきました。

Ax(ベクトルx)=λx(ベクトルx)より

｜A-λE｜=｜2-λ 0 0 ｜
　 　 ｜1 3-λ 1 ｜
　 　｜0 0 2-λ｜

　 =｜2-λ 0 0 ｜
　 　 ｜0 3-λ 1 ｜
　 　｜0 0 2-λ｜

　 =(2-λ)^2(3-λ) =0

∴λ=2,3

ここまでは、解けたのですが、
λ=2の時の、固有ベクトルを求めようとして、困りました。

λ=2の時

(A-λE)x(ベクトルx)
( 0 0 0 )(x) (0)
=( 1 1 1 )(y)=(0)
( 0 0 0 )(z) (0)

x+y+z=0

のようになり、方程式が1本しかつくれません。
x:y:zはどうやったらわかりますか？
固有ベクトルを求たいのですが、わかりません。

ちなみに答えは
( 1) ( 0)
c1( 0)+ c2( 1)
(-1) (-1) でした。

何でこうなるのか教えてください。

回答No.2

bicbic · ベストアンサー

あなたの回答は正しいですよ。
たしかにx + y + z= 0

となります。
変数は３つなのに式が１つ。もちろん一意には決まりません。
上式を満たす(x,y,x)の組み合わせは無限個存在します。
じゃあ、どうするか。変数数ー式数＝3-１＝２個をパラメータ表示します。

解答では、xとyをそれぞれc1とc2でパラメータ表示しているのですね。

そうすると z= -x -y = -c1 -c2

となります。

これをベクトル表示しますと、　
(　c1　）
(　c2　）
(-c1-c2)

となります。
これを行列同士の和の形式になおしますと、解答の式が得られるのです。

お礼

わかりやすくお答えいただき、ありがとうございました。
大変助かりました。
お早い回答、ありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

x+y+z=0は平面を表しますから、平面を張るためには２本のベクトルが必要で、この平面上の平行でない２つのベクトルを取り出せば、それはいずれも固有ベクトルになります。

そこで、最も簡単な組合せを考えて、
ｘ＝１、ｙ＝０のときｚ＝－１
ｘ＝０、ｙ＝１のときｚ＝－１
の２つを取り出して答えとしたということだと思います。

お礼

x+y+z=0が平面、というのが、少し分からなかったのですが、(3つ変数があるので、空間の感じがしてしまって)これから、勉強していこうと思います。
お早くお答えいただき、大変たすかりました。
どうもありがとうございました。