数学II 解と係数の関係について

質問

教科書で2次方程式の解と係数の関係について
D=b^2-4acとすると
αβ=-b+√D/2a×-b-√D/2a=(-b)^2-D/4a^2=c/aとなっているのですが
これってD>0つまりb^2-4ac>0の時しか成り立たないような気がするんですが・・・。
もしD<0だったらこの式はどうなるんですか？

回答No.8

Tacosan

複素数でもいいね＞#7.

回答No.7

noname#157574

2次方程式 ax²+bx+c=0 の解は x=｛-b±√(b²-4ac)｝/2a
ここでα=｛-b+√(b²-4ac)｝/2a ，β=｛-b-√(b²-4ac)｝/2a とおくと
α+β=[｛-b+√(b²-4ac)｝/2a]+[｛-b-√(b²-4ac)｝/2a]=-2b/2b=-b/a
αβ=[｛-b+√(b²-4ac)｝/2a]×[｛-b-√(b²-4ac)｝/2a]
　　　=｛b²-(b²-4ac)｝/4a² =4ac/4a² =c/a
以上は，b²-4ac が実数である限り成り立ちます。

回答No.6

alice_44

陳謝と訂正：
(+√D)(-√D) = +D となる恐れはありません。

回答No.5

alice_44

D>0 であっても、D<0 であっても、α, β = (-b±√D)/(2a) は同じだし、
αβ = { (-b+√D)/(2a) }{ (-b-√D)/(2a) } = c/a も同じように成り立ちます。
何が引っ掛かっているのか、よく解らないのですが…

ひょっとして、-1 = { √(-1) }{ √(-1) } = √{ (-1)(-1) } = √1 = 1 ？？？
との絡みで悩んでいるのであれば、貴方は、
ここで悩まなかった人よりも、複素数について深く考えているのかもしれません。

しかし、その点であれば心配御無用。
D<0 のとき、(√D)/i の正負がどうなっているのかは判りませんが、それでも、
(-b+√D)/(2a) と (-b-√D)/(2a) の √D は、ともかく同じ複素数を表しているので、
単純に、(-b+√D)(-b-√D) = (-b)^2 - (√D)^2 = b^2 - D でよいのです。
(-b+√D)(-b-√D) = -D となる恐れはありません。

回答No.4

boiseweb

そもそも，2次方程式の解と係数の関係を見いだすのに解の公式で得た2解を掛け算している時点でダメダメで，そんな教科書は今すぐゴミ箱に捨てるべきです．
ax^2 + bx + c = a( x-α )( x-β ) の右辺を展開して両辺の係数を比べればおしまいで， b^2-4ac が正とか負とかいう以前に，係数 a,b,c が実数である必要すらないのです（「複素係数の2次方程式が2解をもつことを天下りに認めれば」という留保が必要ですが…）．

ガロア理論によって5次方程式には解の公式が存在しないことが知られていて，そもそも解を係数を使って表示すること自体が不可能です．でも，5次方程式 ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 ( a は 0 でない ) の5つの複素数解を α, β, γ, δ, ε とすると，解と係数の関係
α+β+γ+δ+ε =　-b/a
αβγδε =　-f/a
は容易に見出せます．

回答No.3

sanori

こんにちは。

２つの解がともに実数だとして、それらを　α、β　と置けば、
（ｘ－α）（ｘ－β）　＝　０
Ｄを計算してみれば、
Ｄ　＝　（α＋β）^2　－　４αβ　＝　α^2　－　２αβ　＋　β^2　＝　（α－β）^2　≧　０
になるだけ。

２つの解がともに実数ではない複素数だとして、それらを　α、β　と置けば、
（ｘ－α）（ｘ－β）　＝　０
Ｄを計算してみれば、
Ｄ　＝　（α＋β）^2　－　４αβ　＝　α^2　－　２αβ　＋　β^2　＝　（α－β）^2
ここで、αとβは互いに他の共役複素数なので、
α＝ｘ＋ｉｙ、β＝ｘ－ｉｙ　（ｘは実数、ｙはゼロでない実数）と置けば、
Ｄ　＝　（α－β）^2　＝　（２ｉｙ）^2　＝　－４ｙ^2　＜　０
になるだけ。

どこにも細工はしていません。
実数でも実数でなくても同じです。

回答No.2

gohtraw

解を複素数まで拡張して、二つの解がｐ＋ｑｉ、ｐ－ｑｉだったとします。
ａ（ｘ－ｐ－ｑｉ）（ｘ－ｐ＋ｑｉ）＝ａ（ｘ＾２－２ｐｘ＋ｐ＾２＋ｑ＾２）
ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃと係数を比較すると
ｃ＝ａ（ｐ＾２＋ｑ＾２）
　＝ａ（ｐ＋ｑｉ）（ｐ－ｑｉ）
なので
（ｐ＋ｑｉ）（ｐ－ｑｉ）＝ｃ／ａ
はやはり成り立つのではないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

どうにもなりません. そのまま.