数学IIの解と係数の関係で

質問

数学IIの解と係数の関係で
α+β等を求める問題なのですが
参考書や教科書を見ると例えばα+β=4 αβ=5の時
α^2+β^2＝(α+β)^2－2αβという式に代入していましたが
なぜα^2+β+2が(α+β)^2－2αβになるのかが分かりません。
展開しているということまでは分かるのですがどこからマイナスが出てきたのか・・・。

同様にして(α-β)^2＝(α+β)^2－4αβもよく分かりません(別解としてα^2+β^2－2αβでもいいようですが)

アホな質問かも知れませんがよろしくお願いします

回答No.3

hot3milk · ベストアンサー

＃1さん、＃2さんとかぶりますが、お二人の説明を分かりやすくまとめつつ、補足します。
(しかも携帯からだったりしますf^_^;)

まず、
『マイナスはどこからくるのか』ですが、

展開公式の
(α＋β)^2＝α^2＋β^2＋2αβ

の左辺と右辺をひっくり返してできる式(因数分解公式)
α^2＋β^2＋2αβ＝(α＋β)^2

の左辺の2αβを右辺に移項すれば、
α^2＋β^2＝(α＋β)^2－2αβ

が得られます。
簡単ですね(^_-)-☆

また、
(α－β)^2＝(α＋β)^2－4αβ
の方ですが、解と係数の関係ではα＋βとαβの値しか分かっておらず、α－βの値が分からないので、
上の式のように(α－β)^2をα＋βとαβで表す必要があるわけです。

ここで、
(α＋β)^2＝α^2＋β^2＋2αβ…(1)
(α－β)^2＝α^2＋β^2－2αβ…(2)

(1)と(2)の右辺どうしを比べると、(2)は(1)より4αβ小さいことが分かりますよね。
このことから、
(α－β)^2＝(α＋β)^2－4αβ
という式が導き出されます。

もう一つの(別解)
(α－β)^2＝α^2＋β^2－2αβ
の方は、
同じ大問の(1)でα^2＋β^2の値が出た後だから、(2)のこの問題では(1)の答えを使って解くこともできる
ということです。
(問題番号は違うかもですが)

お礼

考えてみれば単純なことなんですね。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

「なぜ…になるのか」「どこから…が出てきたのか」という
言葉の行間に滲む、左辺に何かしらの系統的な操作を施すと
必然的に右辺になる という発想が、そもそも大間違い。
式変形なんてのは、経験と山勘で泥臭く発見するもので、
マニュアルに従って簡単に出てくるモンとちゃう。

α^2+β^2＝(α+β)^2－2αβ が成立する根拠は、
(左辺)-(右辺) を展開整理すると、恒等的に 0 になる
ことに尽きる。頭を使わずに左辺をボーっと見ていても、
右辺は永遠に出てこない。

それでも強いて
α^2+β^2＝(α+β)^2－2αβ の見つけ方を語ってみると、
おそらく、多くの人にとって、α^2+2αβ+β^2 というのが
よく見慣れた式で、α^2+β^2 を見ると、ついこれを連想する。
α^2+2αβ+β^2 を少しいじって α^2+β^2 にならんかな？
と思ってみれば、－2αβ は普通思いつく。…という流れ
なんだろうと思う。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

spring135

2次方程式ax^2+bx+c=0において解と係数の関係は
α+β=-b/a, αβ=c/a
によって与えられます。
従ってα+β, αβ以外のものはα+β, αβを用いて表す必要があります。
α^2+β^2は(α+β)^2－2αβと変形して解と係数の関係を用いて計算することができます。
(α-β)^2をα+β, αβだけを用いて表すには
(α-β)^2＝α^2+β^2－2αβではだめで、
(α-β)^2＝(α+β)^2－4αβとする必要があります。
しかしすべての式をα+β, αβのみを使って表わすことは不可能で、
たとえば2α+βは不可能です。
可能なのは対称性のある式だけです。
α、βは解の公式
α、β=(-b?√(b^2-4ac))/2a
によって与えられますが、この見苦しい式でなく
α+β=-b/a, αβ=c/a
という格好いい式でスマートに計算しようというのが
解と係数の関係を用いるゆえんです。

お礼

詳しい説明ありがとうごさいました。

回答No.1

happy2bhardcore

happy2bhardcore
平方完成と同じようなものです。

α^2 + β^2 =(α + β)^2 + c
　　　　　　　=α^2 + 2αβ + β^2 + c

等式が成り立つためには c = -2αβ

よって、α^2 + β^2 =(α + β)^2 -2αβ

お礼

すっかり平方完成の考え方を忘れてしまってました。
ありがとうございました。