解と係数の関係を利用した問題です

質問

中学生の子供の夏休みの問題です。
これはどのように解いたら良いのでしょうか？
この一問だけ分からず困っています。
解説頂けるとたすかります。
すみませんがよろしくお願いします。

問題
２次方程式ｘ＾２－３ｘ＋１＝０の解を、α、β（α＞β）とするとき、
(1)α＾２－β＾２
(2)α＾３－β＾３
(3)α＾２＋β

解と係数の関係より
α＋β＝３
αβ＝１

で(1)、(2)は因数分解何とか出来、解けましたが、

(3)の因数分解が出来ず困ってます。

すみませんが解説（教えて頂ける）と助かります。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

αは方程式ｘ＾２－３ｘ＋１＝０の解なのでα＾２－３α＋１＝０であり、これより　α＾２＝３αー１
これをα＾２＋βに代入すると
α＾２＋β＝３αー１＋β　・・・（１）

解の公式より
α＝（３＋√５）／２、β＝（３－√５）／２なので
α＝β＋√５
これを（１）に代入して
α＾２＋β＝３（β＋√５）ー１＋β
　　　　　＝４β＋３√５－１
これにβの値を代入すればいいと思います。

回答No.3

asuncion

なるほど。(1)(2)を解く過程でα－β=√5がわかっていますので、
α+β=3とあわせて、2α=3+√5 …… (※)
(3)は、
α^2+β
=3α－1+β
=α+β+2α－1
=2α+2
=3+√5+2
=5+√5
となるのですが、「解と係数の関係」の問題で(※)の関係を使ってもいいものなのかどうか、
よくわかりません。

回答No.1

asuncion

参考までに、(1)(2)をどのように解かれたか、教えていただけますか？

お礼

ありがとうございます。

解の公式と代入で解くんですね。

(1)、(2)ですが下記のように説きました。

α＋β＝３
αβ＝１

(1)はα＾２ーβ＾２＝（α＋β）（αーβ）＝３（αーβ）

　　（αーβ）＾２＝（α＋β）＾２－４αβ

　　（αーβ）＝ルート[（α＋β）＾２－４αβ]＝√５

　　　よって
α＾２ーβ＾２＝（α＋β）（αーβ）＝３（αーβ）＝３√５

(2)はα＾３ーβ＾３＝（α＾２＋αβ＋β＾２）（αーβ）

　　＝[（α＋β）＾２－２αβ＋αβ]（αーβ）

　　＝[（α＋β）＾２－αβ]（αーβ）＝[（α＋β）＾２－αβ]×ルート[（α＋β）＾２－４αβ]

　　＝８√５

　で解きました。