証明は、a(x - α)(x - β) = 0 の左辺を展開して、元の方程式と係数を比較すれば明らか、と書いてある程度かもしれません。そこで、少々くどい証明になりますが、納得できそうなものを作ってみました。
命題1
「ax^2 + bx + c = 0 （a≠0）の２つの解はα,βである」⇒「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」
証明
ax^2 + bx + c = 0（a≠0）が解 x = αを有するとする。
このとき、
aα^2 + bα + c = 0
であるから、
c = -aα^2 - bα
したがって、
ax^2 + bx + c = a(x - α)(x + α + (b/a))
と因数分解できる（右辺を展開すれば明らか）。よって、
ax^2 + bx + c = 0（a≠0）
のもうひとつの解は、
x = -α -(b/a)
であり、これがβである。
β=-α -(b/a)
ここで、
aαβ = -aα^2 - bα = c
ゆえに、「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」である。
（証明終）
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命題2
「α＋β＝－b/a かつ αβ＝c/a」⇒「ax^2 + bx + c = 0 （a≠0）の２つの解はα,βである」
証明
b = -a(α + β), c = aαβ
これをax^2 + bx + c = 0に代入すると
ax^2 - a(α + β) + aαβ = 0
左辺を因数分解すると
a(x - α)(x - β) = 0
ゆえに、２つの解はα,βである。
（証明終）
お礼
おかげで理解できました。ありがとうございました。