極限値を求める問題について質問です。<数学>

質問

＜問＞
次の極限値Ａを求めよ

Ａ=lim[x→0](1/x - 1/sinx) * 1/(e^x-1)

いろいろ試行錯誤してみましたが、解答が得られません。
途中の式変形など含めてよろしくお願いいたします。

回答No.3

Meowth

(1/x - 1/sinx) * 1/(e^x-1)
を通分して整理すると、
=(sinx-x)/x^3 * x/sinx * x/(e^x-1)
x →０で
x/sinx →０
x/(e^x-1)→０
(sinx-x)/x^3
は
ANo.2のようにテーラー展開して、
-1/6+O(x^2)
でも、
ANo.1のように、ロピタルの定理で、2回微分して、
lim (sinx-x)/x^3 =lim(cosx-1)/3x^2=-1/6lim(sinx/x)=-1/6
でも　結果は同じ

回答No.2

info22

分子,分母をテーラー展開（マクローリン展開）すれば
分子=-(1/6)x+O(x^3)
分母=x+O(x^2)
ここで、O(x^2)はx^2 以上の高次の項、O(x^3)はx^3 以上の高次の項

したがって分子、分母をxで約分して
分子/分母={-(1/6)+O(x^3)/x}/{1+O(x^2)/x}→-1/6(x→0)

回答No.1

pocopeco

分母が0に近付くときは、微分する、、ような技があったような。

忘れたので自力で調べてみてください。