微分の問題

質問

微分の問題

テストが近くて困っています。
解答が分かる方、宜しくお願いします。
ヒントでもかまいません。
出来れば解答を書いていただけるとありがたいです。

・次の極限を求めよ
lim x→0 log(1+ax)-log(1+bx)/x

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

log(1+ax) - { log(1+bx) / x }なのか
{ log(1+ax) - log(1+bx) } / xなのかが分からないのですが、
どちらでしょうか？

大学以上ならロピタルの定理を使えば良いです。
高校生の場合、lim x→0 log(1+ax) - { log(1+bx) / x }を求めたいなら

lim x→0 log(1 + bx)/x
= lim x→0 (1/x)log(1 + bx)
= lim x→0 log{ (1 + bx)^(1/x) } （対数の公式a・log(b) = log(b^a)を使用）

と変形します。
x → 0の時、logの中身が
(1 + bx)^(1/x) → (1よりちょっと大きいもの)^(±∞)
という形になります。
これってeの極限の形
lim t→∞ (1 + 1/t)^t = e
に似ていませんか？

log(1 + bx)/xを何とかこのeの極限の形にもっていって下さい。
そうすれば答えが出るはずです。

lim x→0 { log(1+ax) - log(1+bx) } / xを求めたい場合、

lim x→0 { log(1+ax) - log(1+bx) } / x
= lim x→0 [{ log(1+ax) / x } - { log(1+bx) / x }]
= lim x→0 { log(1+ax) / x } - lim x→0 { log(1+bx) / x }

と変形して、先ほどと同じような事をやってみて下さい。

お礼

ありがとうございます。
ロピタルですぐに解けました。

回答No.4

spring135

No.2です。勘違いをしていました。以下のように訂正します。
log(1+ax)=ax-(ax)^2/2+(ax)^3/3-.....
log(1+ax)-log(1+bx)=(a-b)x-(a^2-b^2)x^2/2+....
lim x→0 log(1+ax)-log(1+bx)/x =lim x→0(a-b)-(a^2-b^2)x/2+....=a-b
最後の結果は変わりません。

お礼

訂正ありがとうございます。
ロピタルでちゃんとa-bになりました。

回答No.3

spring135

log(1+ax)を1の周りに級数展開すれば
log(1+ax)=1+ax+(ax)^2+(ax)^3+....
従って
log(1+ax)-log(1+bx)=(a-b)x+(a^2-b^2)x^2+...
従って
lim x→0 log(1+ax)-log(1+bx)/x=lim x→0(a-b)+(a^2-b^2)x+...=a-b

お礼

級数展開は習っていませんが、答えはロピタル以外にもこのような出し方があるんですね。
参考になります。
ありがとうございました。

回答No.1

gigosyokuful

log(1+ax)っておかしくないですか？底がないですよ。

お礼

指摘ありがとうございます。
これは自然対数に関する問題です。