relative interiorについて

質問

2つの集合intC＝{ｘ｜∃ε＞０,ｘ＋εB⊂C}(Cのinterior)とriC＝{ｘ∈affC｜∃ε＞０,(ｘ＋εB)∩(affC)⊂C}(Cのrelative interior)について、Cのinterior(内点)のイメージやriC⊂Cなどの関係はわかりますが、riCのイメージや、またなぜこの概念が重要なのかがわかりません。また、clC＝∩{C＋εB｜ε＞０}としたときの、(clC)＼(riC)などのイメージが湧きません。理解の助けになる良い例などがあれば、お教え頂けないでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「εＢ」って何だ？とか、「affＣ」って何だ？とか、細かいツッコミ処はありますが…
一番マズイ点は、どんな位相空間上で考えるているのかを明示していないことです。
もともと ri が、ユークリッド空間上で定義されるものだということを意識すれば、
イメージも湧きやすくなるように思います。

実三次元空間上で、Ｃ が xy 平面内の単位円盤である例を考えてみましょう。
Ｃ は平面図形なので、三次元の位相では、全ての点が境界点であり、内部を持ちません。
すなわち、intＣ は空集合です。
一方 riＣ の方は、affＣ である xy 平面への相対位相で考えた内点なので、
平面内の開円盤になります。
「Ｃ の中身」と言ったとき、どっちを意味したいかは、場合によって違いますよね。

お礼

とても分かり易く、特にどの位相で考えるのかを、失念しておりました。
本当によくわかりました。有り難うございました。

回答No.2

noname#152421

記号がよくわかりませんが、ユークリッド空間で考えていて、affCはCが張るアファイン部分空間の意味で、Bは単位円板の内部の意味ですか？

例えば、複素平面で

C={i+x|0≦x≦2}

を考えてみたらどうでしょう？

ｘ=i+x(0<x<2)と、ｘ=iやi+2とで、"(ｘ＋εB)∩(affC)"の部分がどう違ってくるか計算してみてください。

お礼

大変丁寧なご返事を頂き、有り難うございました。
理解が深まりました。