∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在の証明

質問

[問]Rは実数体で∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在する事を示せ。
[証]
Bを含む凸集合の共通部分A:=∩[C∈{C;B⊂C:凸集合}]C
を考えたのですが
∀x,y∈A,∃C∈{C;B⊂C:凸集合} such that x,y∈C.
所が∀λ∈[0,1],λx+(1-λ)y∈Cは言えるが
λx+(1-λ)y∈Aとは必ずしも言えないと思います。
どうすればλx+(1-λ)y∈Aが言えますでしょうか?

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

共通部分だから。∃C じゃなくて∀C ですね。
そして論理記号の使い方がかなりあやふやと見ました。普通に日本語で論述しましょう。

お礼

有難うございました。
お陰様で解決致しました。

回答No.2

zk43

Bを含む凸集合全体の共通部分が凸集合であれば、それがBを含む最小の
凸集合であるということは分かっており、凸集合の共通部分が凸集合で
あることを示したい、という趣旨でしょうか。
たまたま、２つ前にも同じ質問がありました。

{Ci}i∈Iを凸集合の族として、
∩[i∈I]Ciから任意の2点x,yをとる。
xもyもすべてのCiに含まれており、Ciは凸集合だから線分xyはCiに含ま
れている。
つまり、線分xyはすべてのCiに含まれており、線分xyはCiの共通集合
∩[i∈I]Ciに含まれている。
よって、∩[i∈I]Ciは凸集合である。
（線分xyは{λx+(1-λ)y|λ∈[0,1]}）
このような議論の仕方は典型的なもので、凸集合以外でも、開集合
とかの場合でも使うことがあります。

お礼

有難うございました。
お陰様で解決致しました。