「Xを異なる3点a,b,cの集合とする。このとき、X上の位相は幾通りあ

質問

「Xを異なる3点a,b,cの集合とする。このとき、X上の位相は幾通りあるか。すべてを列挙せよ。」
という問題ですが、ネットにて下記、２通りの回答が載っていました。
どちらが正しいのでしょうか？
位相は教科書だけでなく、参考書も読んだのですが、ほとんど理解できません。

解２が正解なら、何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ （6通り）となるのでしょう？
だけでなく、(1)から全て理解していませんが。

お手数ですが、ご回答お願いします。

解１
0,(a),(b),(c),(ab),(bc),(ca),(abc)の8通りです。
0は空集合

解２
　(1) {φ, X}　（1通り）
　(2) {φ,{a}, X}、・・・ （3通り）
　(3) {φ,{a,b}, X}、・・・ （3通り）
　(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ （6通り）
　(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ （3通り）
　(6) {φ,{a}, {a,b}, {c,a}, X}、・・・ （3通り）
　(7) {φ,{a}, {b}, {a,b}, X}、・・・ （3通り）
　(8) {φ,{a}, {b}, {a,b}, {b,c}, X}、・・・ （6通り）
　(9) {φ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, X}　（1通り）
以上29通り。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

解2が正解です
X={a,b,c}のとき
(1) 1){φ,X}
(2) 2){φ,{a},X}
3){φ,{b},X}
4){φ,{c},X}
(3) 5){φ,{a,b},X}
6){φ,{b,c},X}
7){φ,{c,a},X}
(4) 8){φ,{a},{a,b},X}
9){φ,{a},{a,c},X}
10){φ,{b},{b,c},X}
11){φ,{b},{b,a},X}
12){φ,{c},{c,a},X}
13){φ,{c},{c,b},X}
(5)14){φ,{a},{b,c},X},(∵{a}∪{b,c}={a,b,c}=X)
15){φ,{b},{c,a},X}
16){φ,{c},{a,b},X}
(6)17){φ,{a},{a,b},{c,a},X},(∵{a,b}∪{c,a}={a,b,c}=X)
18){φ,{b},{b,a},{c,b},X}
19){φ,{c},{c,a},{b,c},X}
(7)20){φ,{a},{b},{a,b},X}
21){φ,{b},{c},{b,c},X}
22){φ,{c},{a},{c,a},X}
(8)23){φ,{a},{b},{a,b},{b,c},X},(∵{a,b}∪{b,c}={a,b,c}=X)
24){φ,{a},{b},{a,b},{c,a},X}
25){φ,{b},{c},{b,c},{c,a},X}
26){φ,{b},{c},{b,c},{a,b},X}
27){φ,{c},{a},{c,a},{a,b},X}
28){φ,{c},{a},{c,a},{b,c},X}
29){φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X},(∵{a,b}∪{b,c}={a,b,c}=X)
以上29通り

Z={φ,{a},{b},{a,b,c}=X}は位相ではない
(∵{a}∪{b}={a,b}∈Zでないから。)

お礼

ありがとうございました。
他の方との回答とあわせて、少しづつですが、理解できて来ました。
しかし、位相は難しすぎです。

回答No.3

OKXavier

#1です。

数え上げルールが不明なので分かりにくいのですが、
（１）は最小の位相。
（２）は大きさ１の部分集合が１個の位相
（３）は大きさ２の部分集合が１個の位相
（４）（５）は大きさ１と２の部分集合が１個ずつの位相
（６）は大きさ１の部分集合１個と大きさ２の部分集合が２個の位相
（７）は大きさ１の部分集合が２個と大きさ２の部分集合が１個の位相
（８）は大きさ１、２の部分集合とも２個ずつの位相
（９）は最大（３個と３個）の位相。

部分集合の大きさで仕分けすると、
N=1、N=2　個数
　0　0　　1
　1　0　　3
　0　1　　3
　1　1　　9
　1　2　　3
　2　1　　3
　2　2　　6
　3　3　　1
計　　　　29

>(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ （3通り）
>{φ,{a}, {b,c}, X}
>{φ,{b}, {b,c}, X}
>{φ,{c}, {b,c}, X}
>となるのでしょうか？

（５）は、{a}と{bc}のintersectionがφのもの。
{φ,{a}, {b,c}, X}
{φ,{b}, {a,c}, X}
{φ,{c}, {a,b}, X}
で数えているものと思われます。

（４）（５）は一緒に考えた方がわかりやすいと思います。

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.2

orcus0930

位相の定義から言って（定義は松坂先生の「集合・位相入門」の定義を採用）
解１，解２ともに間違っている．

解１は論外として，解２は(5),(6),(8),(9)は位相ではない．
なぜなら，任意の２つの元の和集合が位相に含まれないから．

また，解２以外にも集合がある．

例えば，
{φ,{a},{b},{a,b,c},X}
とかいろいろ考えられる．

他にもあるので，数え上げは頑張ってください．

お礼

ありがとうございました。
勉強してみます。

回答No.1

OKXavier

「位相」の定義を確認しましょう。

>どちらが正しいのでしょうか？
解１　は明らかにおかしいです。

>何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ （6通り）となるのでしょう？

部分集合{a}と{a,b}のintersectionが前者、
unionが後者となるもので数え上げているようです。

{φ,{a}, {a,b}, X}
{φ,{a}, {a,c}, X}
{φ,{b}, {a,b}, X}
{φ,{b}, {b,c}, X}
{φ,{c}, {a,c}, X}
{φ,{c}, {b,c}, X}
の６通り。

お礼

ご回答有難うございます。

＞>何故、(4) {φ,{a}, {a,b}, X}、・・・ （6通り）となるのでしょう？

＞部分集合{a}と{a,b}のintersectionが前者、
unionが後者となるもので数え上げているようです。

なるほど。(1)～(4)までわかりました。
しかし、(5)では、

　(5) {φ,{a}, {b,c}, X}、・・・ （3通り）
{φ,{a}, {b,c}, X}
{φ,{b}, {b,c}, X}
{φ,{c}, {b,c}, X}
となるのでしょうか？

　(6) {φ,{a}, {a,b}, {c,a}, X}、・・・ （3通り）
　(7) {φ,{a}, {b}, {a,b}, X}、・・・ （3通り）

(6)(7)も同様に
{a}が{b},{c}, の場合の３通りなのでしょうか？

　(8) {φ,{a}, {b}, {a,b}, {b,c}, X}、・・・ （6通り）
　(9) {φ,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, X}　（1通り）

(8)の６通りはどのようになるのでしょう？

以上29通りというのはあっているのでしょうか？

お手数ですが、よろしくお願いします。