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集合の背反とは？
- 集合の背反について、混乱している点をまとめました。
- 「または」の意味や違う文字での背反についても疑問があります。
- 集合の背反をイメージする方法について教えてください。
- hohoho0507
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排反のことでしょうか？（確率などではこの字を使いますが） 要は、二つの集合の共通部分が空になる（交わらない）ときに、背反と言う、と教科書かなにかで習ったのでしょうか？ 「二つの集合は背反である」というのは、あまり聞いたことのない表現です。 ∩、∪ と「または」「かつ」を乱用してるように思えます。密接な関わりがあるのでよく同一視されますが、気をつけた方が良いです。 前者は集合に対する演算記号（＋、－などが演算記号）、後者は命題に対して使うものです。 (2)のケースですが、「りんご」からなる集合Aがあり、 全ての「りんご」に対して、「赤い」または、「青い」のいずれか一方のみが成り立つという条件のもとで、 ｛ｘ∈A｜ｘは「赤い」｝という部分集合を考えている ということでしょうか。 問題なのは「りんご」とはどういう対象なのかです。整数とは異なる概念、対象なのか。あるいは、現実のりんごを既存の数学的概念（例えば整数、実数など）に対応させて考えているのか、大きく分けて言えばこのどちらかでしょう。 前者であれば、対象が異なるので｛ｘ∈A｜ｘは「赤い」｝と｛ｘ｜ｘは整数 かつ 5<x<8｝の共通部分は空です。（Aの要素がそもそも整数でないので、整数の部分集合に属してるわけがないということです） 後者の場合は、交わるケースがつくれてしまいます。 「りんご」を 整数 「赤い」を 偶数である 「青い」を 奇数である に対応させると、共通部分がでてきます。 ＞同じｘでその範囲を考えていたりする場合は背反なのかそうではないのか判断できるんですが、違う文字、a,bなどの範囲で考える場合などが集合的にイメージすることがきず背反なのかそうでないのかよくわかりません。 例えばこういうのはどうでしょうか。 X：実数上の一次関数全体からなる集合 N：自然数全体からなる集合 この二つの集合の共通部分を考えてみます。「１」や「２」などの自然数は、関数でないので共通部分は空です。 扱う対象が全く異なるときは、考えている土俵が違うので、共通部分が空になるように定義されてることがほとんどだと思います。（こういうときは、背反であることが自明にしておきたいはずです。） もっと俗な例えをすると、フィギュアスケーターの集合と、力士の集合でイメージしてみてください。勝つために必要な肉体が全く違うので、交わるはずもないと思えるのではないでしょうか。
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- alice_38
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A ∪ B を考えるとき、この系の全体集合は、 式の意味に先立って決めておくべきです。 記号 ∪ や、それに影響を与える全体集合の 定義が、A や B の具体的内容に左右される べきではありません。 その点で、#3 の最後の段落は、問題アリです。
- Tacosan
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いろいろと間違いが多すぎて「あなたが何を言いたいのか」が全くわかりません. 例えば, 「端的にまとめ」たという (1) も意味不明です.
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
「りんごは赤い色をしているという集合」 というのが、よくイメージできません。 「赤いりんごの集合」という意味 なんでしょうか？ また、 それと「5＜x＜8 を満たす整数の集合」との ∪ だの ∩ だのを考えるとき、 全体集合としては、どのようなものを 想定しているでしょうか？ 集合演算の意味は、全体集合を定めないと 決まりません。 補集合の意味が、変わってしまいますからね。 まず、その辺りを整理することから ではないですか。
