数学的概念の理解に比喩が役に立つ例について

質問

A:B=C:Dのような式を使って、数学的な概念を理解することが容易になるような例はあるでしょうか。算数的概念でも結構です。

回答No.5

QCD2001

微積分という数学の手法が考案されたときには、微分と積分とは相互に逆の演算として考案されました。
しかし、微分可能でない関数が発見されると、微分可能でない関数は積分できるのかどうか、という研究が行われるようになりました。
結局、微分と積分は、逆演算であるような場合「も」ある
というだけで、本来別物と考えた方が良いように思います。

微分可能な関数を微分すれば、その結果の導関数を区分求積して、元の関数（定数分ずれている）を求めることができます。
逆演算になるのはそのような場合だけです。

微分可能でない関数の場合は、そもそも積分の逆演算が存在しません。
逆演算が存在しないものを逆演算だととらえようとするところに無理があります。
ですから、別物と考えるべきでしょう。

お礼

微分積分がよくわからないにもかかわらず例として挙げたこともだめだったのですね。

回答No.4

QCD2001

＞適切に設定すれば、ロジックとしてそれなりに使えないかと思いました。

使えません。単なるたとえ話でしかありません。
足し算と引き算の関係に比率はありませんから、その「比率」には論理的な構造がありません。論理的構造がないものをどう並べても、「ロジック」にはなりません。

＞ABCDの中でどれかを未知のものとして、使うことはできないでしょうか。

使えません。使えるためには
A:B
の比の値の数値が計算できなければなりません。

「足し算」対「引き算」　の比の値の数値をどうやって計算しますか？比の値は１００ですか？１０００ですか？

積分対微分　の比の値はどうやって計算しますか？
その比の値の数値は１００ですか？１０００ですか？

お礼

どうもすみませんでした。私は比喩のことを大きく勘違いしているのだと思いました。

回答No.3

QCD2001

No.2です。

「：」は比率を示す記号ですから、
「足し算」対「引き算」の比率の値を定義できなければ、式そのものが無意味です。

単に「対比させる」という意味であるとしたら、
微分は変化率ですから割り算であり、引き算の繰り返しと考えることができます。積分は面積に類似した概念なので掛け算であり、足し算の繰り返しと考えることができます。

このように考えた場合

「足し算」：「引き算」＝「微分」：「積分」
＝「割り算」：「掛け算」
＝「引き算」：「足し算」

となってしまいます。
つまり、質問者さんはA:B=C:D という式を無理やり引っ張り出したことによって、理解どころか逆に勘違いを生じてしまったことになります。

ですから、微分と積分にA:B=C:D という式を持ち出すことは却って間違いを生じてしまう、百害あって一利なしの行為です。

お礼

ご指摘の通り私が間違えたのですね。適切に設定すれば、ロジックとしてそれなりに使えないかと思いました。さらにABCDの中でどれかを未知のものとして、使うことはできないでしょうか。

回答No.2

QCD2001

質問の意味が不明です。

A:B=C:D という式が何らかの数学的概念の理解を容易にしているとは思えないのですが・・・？
質問者さんはこの式がどのような数学的概念の理解を容易にしているとお考えでしょうか？

＞私は微分が積分の逆演算であるというのを、自分でもよく分かっている（つもりの、たとえばプラスマイナスなど）逆演算の関係を使って知りたいのですが・・・。

全く理解できません。
「逆演算の関係」とは何を指しているのでしょうか？
素直に文字通りに読むと、

微分と積分が逆演算の関係であることを使って、（微分と積分が）逆演算の関係であることを理解したい。

と言っているように読めます。
何をおっしゃりたいのでしょうか？

お礼

たとえば足し算と引き算の関係から微分と積分の関係をよりよく理解できないかと書いたつもりだったのですが・・・。A＝足し算、B＝引き算、C＝微分、D＝積分、というつもりでした。

回答No.1

asuncion

＞比喩が役に立つ例
＞A:B=C:Dのような式
これらの関連が今一つよくわかりません。

お礼

私は微分が積分の逆演算であるというのを、自分でもよく分かっている（つもりの、たとえばプラスマイナスなど）逆演算の関係を使って知りたいのですが・・・。