締切済み 有限体の証明 2011/02/27 13:22 すみませんこの問題をどなたか教えてもらえませんでしょうか? Fp(p=3^2) (これは有限体Fp(p=3)を2次既約多項式で割った余り多項式全体の集合) の0でないすべての元の積は2であることを示せ。 みんなの回答 (2) 専門家の回答 みんなの回答 alice_44 ベストアンサー率44% (2109/4759) 2011/02/27 23:56 回答No.2 「2」の定義がわからん。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(1) koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2011/02/27 13:49 回答No.1 まあ、とりあえず実際に計算してみましょうか。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 有限体の元の個数の証明。 有限体の元の個数の証明。 すみませんがどなたかこの問題を教えてもらえませんでしょうか? pを奇数の整数、rを正の整数とする。Fp^rの元の平方になっているFp^rの元の個数、すなわち |{αはFp^rに含まれる|α=β^2、あるβはFp^rに含まれる}| は1/2(p^r-1)であることを示せ。 (Fp^rはFp[x]の多項式をr次既約多項式f(x)で割った余り多項式全体の集合) 申し訳ありませんが。どうかお願いします。 原始多項式の証明 原始多項式の証明 すみませんこの問題がどうしてもわかりません。だれか教えていただけないでしょうか? x^4+x+1(この式はFp[x]に含まれる、p=2)はFp上の4次原始多項式であることを示せ。 まず、既約多項式であることを証明して、原始多項式であることを証明するのだと思うのですが・・・ どうかお願いします。 有限体の問題について この問題につまづいてしまいました。 (問い) 素数pに対して、Fp = Z/pZ とする。 x^2+1∈Fp[x] が既約になるような素数pを求めよ。 小さい素数から順番に当てはめて計算していくと、 どうやらpが「4で割って3余る素数」ならば、x^2+1∈Fp[x] が既約になりそうだ、というところまでは行き着いたのですが、 それを証明する方法がわかりませんし、そもそもこの予想が正しいのかも自信がもてません。 どなたかわかる方、是非教えて下さい。 宜しくお願いします。 有限体 ガロア体 多項式 大学の期末試験の過去問なのですがわからないので,ヒント,方針を与えてもらえればうれしいです。 ある大問の中の一つの問題です。前提条件は 「Z3上の多項式p(x)=x^3+2x+1を考える。αをp(x)=0の解とし,元の個数が27個の有限体GF(27)をZ3上の3次の拡大体Z3(α)として実現する。 このとき,α^2+1を一つの解とするZ3上の3次方程式を求めよ。」 です。Z3はZ/Z(3)のことです。「元の個数が27個の有限体GF(27)をZ3上の3次の拡大体Z3(α)として実現する。」はこの問題で,使わないかもしれませんが, よろしくお願いします。 有限次拡大について (1) 任意の自然数nをとる。 [K:Q]=nとなる有限次拡大K/Qの例をあげよ。 (2) 標数0の体K上の既約多項式は、重根をもたないことを示せ。 この2問がどうしてもわかりません。わかる方いたらよろしくお願いします。 代数学の証明問題がわかりません。 Fを標数p>0で元の数q個の有限体とし、その素体をFоとする。 Fの元はちょうどFо係数の多項式 X~q-X=0 の根全体となっている。 の証明がわかりません。教えていただけないでしょうか。 「有限集合の部分集合は有限集合」の証明 有限集合Xの部分集合Aは有限集合であることの証明がわかりません。 X;集合とします X⊇A とします。 とあるテキストによると,Aが有限集合であるとは, __∀F∈P(P(X))[F;A上帰納的 ⇒ A∈F] との事です。 ここで,Xの冪集合の冪集合P(P(X))∋FがA上帰納的であるとは, __φ∈F∧∀C∈F∀x∈A[C∪{x}∈F] であると事,とされています。 この定義に従って, _X;有限集合 ⇒ A;有限集合 を証明したいのですが,証明がさっぱり分かりません。 是非とも証明を御教え下さい。宜しくお願い致します。 既約多項式の証明 p:素数 Zp=Z/(p)とする. 多項式f(x)=a0+a1x+・・adx^d∈Z[x]に対して、 f ̄(x)=a0 ̄+a1 ̄x+・・ad ̄x^d∈Zp[x]として、(a ̄∈Zpは整数aの剰余項) 最高次の項の係数がpで割れない原始多項式f(x)∈Z[x]について、f ̄(x)がZp[x]の既約元であれば、f(x)はZ[x]の既約元である ということを示したいのですが、f(x)が既約元でなくf=ghとおいて示そうとしてるのですが、ごちゃごちゃになっていまいちできません。どのような解法が適切でしょうか。 増減表を使った証明。。 環論の問題で f(X)⊂R[X]の次数が奇数ならば、f(X)は実数の零点を持つことを示せ。 という問題があるのですが、 自分がといたやり方としては 解)実数体上の既約多項式はすべて1次または2次である。という定理より奇数次数の多項式f(X)⊂R[X]を既約多項式にすると少なくとも1つは1次式になる。よって、実数の零点を持つ。 このように証明したのですが、ヒントには微積の増減表を使うようにとかかれていました。 だとするとこの証明だとだめですよね? 増減表を使った方法の証明分かるかた教えてください。 ガロア体GF(2)の2次拡大の2次拡大について GF((2^2)^2)の元の求め方を教えてください。 GF(2)の元は{0,1}で、既約多項式をx^2+x+1とすれば{0,1,x,x+1}の拡大体GF(2^2)が得られることはわかりました。 そこで、拡大体GF(2^2)をさらに2次拡大させたGF((2^2)^2)を求めたいのですが、既約多項式をX^2+X+b(10)=0としたとき、16個の元はどのように求められるのでしょうか。 また、GF((2^2)^2)の元も原始元のべき乗で表現できるのでしょうか。 数学専攻ではないので、できるだけ詳しく解説していただけたら幸いです。 質問の仕方が下手で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。 可換体に関する質問 ガロア理論入門の10ページに下記の問題があります。 ============================================= 問題1-3. pを素数とし、 Zp={0,1,2,...,p-1} とします。 a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。 また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。 すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。 ============================================= 初心者の初歩的な質問で、恐縮ですが宜しくお願いします。 Q1) 集合Zp={0,1,2,...,p-1}は、逆元を持っていないので体とはいえないので 可換体でも無いとおもいます。 この問題は、そのことは無視して、a●b = b●a を証明する問題と考えて宜しいでしょうか? Q2) もし、そうだとしても、掛算の解は可逆なので、pで割った余りの値は 当然等しくなると思いますが、こんな単純な問題では無いと思います。 如何でしょうか? 以上 コメントの程、宜しくお願いします。 有限体の元の追加した体もある条件で有限体の証明 体Kの上の代数拡大体の元a(1)、---、a(n-1)、a(n)について、a(1)、---、a(n-1) がKの上に分離的であれば,K(a(1)、---、a(n-1)、a(n))はKの単純拡大であるという定理の証明にあたり、まずKが有限体であれば,K(a(1)、---、a(n-1)、a(n))も有限体であるとありますがこれはどう説明できますか。Kが有限体ならK(a)も有限体がいえればいいと思いますが。 代数の問題です。 代数の問題です。 p=素数 F_p={0,1,2,・・,p-1} とする。 F_p上において4次の既約多項式が存在する事を証明せよ。 という問題です。 わかる方いましたらよろしくお願いいたします <(_ _)> そして、 出来ればF_p上においてn次の既約多項式が存在する事を証明できる方いましたら教えて頂けると助かります。 方程式の解 複素数が代数閉体であることは有名ですが、複素数の真部分集合で代数閉体であるようなものは存在するのでしょうか? 元々の疑問は まず有理数の集合をQ(0)とする。 Q(0)係数1変数多項式の解全体の集合をQ(1)とする。 次にQ(1)係数1変数多項式の解全体の集合をQ(2)とする。 … この操作をずっと続けたときの結果が知りたいんです。 結果というのは 1)有限回の操作で複素数に一致する。 2)有限回の操作で止まるが複素数には一致しない。 3)有限回で終わらない。(極限でどうなるのかも興味があります) のどれかと言うことです。 最初のでも二個目でも結果をご存知の方、何かしらのアイデアが浮かんだ方がいらっしゃいましたらぜひ教えてください。 体F上のn次方程式の因数分解 体F上のn次方程式の因数分解 有限体に関する次の問題を解きました。 [問] p(x)=x^3+x+1 を Z3 上の多項式として因数分解せよ。 この問題を筆算で以下のように解きました。 p(1)=0よりp(x)は因数(x-1)を持つ。 x^3を消すために、(x-1)にx^2をかけたものを引くと、x^2が残る。 xを下ろしてきて、x^2+xを消すために、(x-1)にxをかけたものを引くと、2xが残る。 1を下ろしてきて、2x+1を消すために、(x-1)に2をかけたものを引くと、3が残る。 Z3上の多項式より、3≡0(mod 3)であるから、割り切れた。 したがって、 p(x) = (x-1)(x^2+x+2) しかし、手元にある解答を見ると、 p(x)=x^3+x+1 = x^3-2x+4 = (x^2-2x+2)(x+2) と書いていました。全ての係数について(mod 3)で考えると私の解答と一致していますが、これはどちらも正しいことになるのでしょうか? また、ここでもう一つの質問ですが、Z3上の多項式というのは、「全ての係数において(mod 3)で考えたとき、等しいものを同じ多項式として扱う」という解釈で正しいのでしょうか? 例えばこの考え方ではZ3上で x^2+2 = 4x^2+2 = x^2+5 = -2x^2-1 となりますがこれは正しいですか。 質問は以下となります。 (1)私の解答と手元にある解答のどちらが(両方が)正しいのか。 (2)私の体F上の多項式の解釈は正しいのか。 よろしくお願いします。 線形写像の例を探しています。 Fベクトル空間Vの線形写像全体の集合をV'と表す事にする(体FはC又はRとする)。 つまり、V'の元はVからFへの線形写像。 PをF上の多項式全体の集合, C[0,1]を区間[0,1]で連続な関数全体の集合, R^3を3次元実数空間 に於いて、P'やC[0,1]'やR^3'の元としてどのような例が挙げられますでしょうか? 有限位数の元の積 ふと疑問に思ったのですが、群において有限位数の元の積もまた有限になるのでしょうか。 つまり、Gを群、a,bを位数が有限のGの元とする時、abの位数も有限になるのでしょうか。 問題は単純なのですが、単純であるがゆえ証明が難しそうです。反例も思い付きません。 どなたかよいお考えがあれば教えていただきたいです。 一般のn次既約多項式は存在する? Kを0,1からなる体 とします。そこでK上の多項式を考えます。 1次,2次,3次,…の既約多項式を考えたとき、4次までの既約多項式は具体的に求めてみましたが、一般のn次既約多項式は存在するのでしょうか?直感的には存在しそうですが。。どなたか教えてください。 σ集合体の証明 集合体の証明の問題です。 問:Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。 (1)Fは集合体である (2)A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F (i)∩(i=1,∞)Ai∈F (ii)lim(n→∞)supAn∈F (2)の記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。 (1)は、集合体であるための定義、 ・φ∈F ・A∈F⇒Ac(Aの補集合)∈F ・A,B∈F⇒A∪B∈F を示せればよいのでしょうか? そうだとしたら、σ集合体であるということは、 ・φ∈F ・A∈F⇒Ac(Aの補集合)∈F ・A1,A2,…,An,…∈F⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F ということなので、これらを使って証明していけばいいのでしょうか? (2)については証明の予想が立ちません…。 わかる方、解説お願いします! 情報数学の有限体について 任意の有限体において、その標数pを位数とする部分体が必ず存在する。 という定理が明らかだと書いているのですが、どうして明らかかがわかりません。どなたか教えてもらえませんか? 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば? 新幹線で駅弁食べますか? ポテチを毎日3袋ずつ食べています。 優しいモラハラの見抜き方ってあるのか モテる女性の特徴は? 口蓋裂と結婚 らくになりたい 喪女の恋愛、結婚 炭酸水の使い道は キリスト教やユダヤ教は、人殺しは地獄行きですか? カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる! 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