方程式の解

質問

複素数が代数閉体であることは有名ですが、複素数の真部分集合で代数閉体であるようなものは存在するのでしょうか？

元々の疑問は
まず有理数の集合をQ(0)とする。
Q(0)係数１変数多項式の解全体の集合をQ(1)とする。
次にQ(1)係数１変数多項式の解全体の集合をQ(2)とする。
…
この操作をずっと続けたときの結果が知りたいんです。

結果というのは
１）有限回の操作で複素数に一致する。
２）有限回の操作で止まるが複素数には一致しない。
３）有限回で終わらない。（極限でどうなるのかも興味があります）
のどれかと言うことです。

最初のでも二個目でも結果をご存知の方、何かしらのアイデアが浮かんだ方がいらっしゃいましたらぜひ教えてください。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

問題の意味を勘違いしました。２）が正解です。確かに、Q(1)=Q(2)ですね。証明はご自分で考えて下さい。

お礼

ありがとうございます。

そうですか。代数的数の全体は代数閉体を成すんですか。
証明は自分でやってみますが、分からないところがあればまた別に質問します。

回答No.2

Tacosan

なんとなく気になるんですけど, Q(1) と Q(2) って同じものだったりしませんか?
あと, {0} が気になってみたりする....

お礼

ありがとうございます。

これは盲点でした。確かに０のみでもいけますね。
ただこの場合解があるとすればx=0に決まっているわけで方程式に意味があるのかが気になりますが…

回答No.1

ojisan7

1),2),3)のどれでもありません。このような体の拡大を順次行って得られた数を代数的数といいます。代数的数の全体は明らかに可算無限集合です。3)の極限（可算無限回）までこの操作を行ったとしても同じことです。ところが、複素数全体の集合は、ご存じのように、可算無限集合ではありませんからね。