有限体の問題について

質問

この問題につまづいてしまいました。

（問い）
　素数ｐに対して、Fp = Z/pZ とする。
　x^2+1∈Fp[x] が既約になるような素数pを求めよ。

小さい素数から順番に当てはめて計算していくと、
どうやらpが「４で割って３余る素数」ならば、x^2+1∈Fp[x] が既約になりそうだ、というところまでは行き着いたのですが、
それを証明する方法がわかりませんし、そもそもこの予想が正しいのかも自信がもてません。

どなたかわかる方、是非教えて下さい。
宜しくお願いします。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

ｐは素数ですからFpは有限体（素体）ですよね。x^2+1が規約であるためにはNo1さんのおっしゃる通り、
x^2 ≡ -1 (mod p)を求めることに帰着します。これは整数論で最も重要な平方剰余に関する部分です。
質問者さんは、「平方剰余の相互法則」とか、「平方剰余の第一補充法則」についてはご存じですよね。

お礼

「平方剰余の相互法則」や「平方剰余の第一補充法則」を
恥ずかしながら私は全然知りませんでした。
なので早速調べてみたところ、確かにこの法則を認めれば私の予想は正しいということが証明できそうだと理解できました！
このような法則があることを教えていただき、ありがとうございました！！

回答No.2

koko_u_

>自分で小さい素数から調べていくうちに何かわかるかも、
>と思ってやってみたところ、pが「４で割って３余る素数」ではないか？ということだったのです。

まったく正常な行動です。
しかし私にはあなたの楽しみを奪うことはできない。

回答No.1

koko_u_

x^2 ≡ -1 mod p を解けというのと同じですよね。超有名。

補足

そんなに有名なんですか？全然知りませんでした。
いろいろ調べていたのですが、証明法がわからずに、
自分で小さい素数から調べていくうちに何かわかるかも、
と思ってやってみたところ、pが「４で割って３余る素数」ではないか？ということだったのです。

この予想は正しいですか？
正しいとすれば、それを示す方法をご教示願えないでしょうか。
よろしくお願いします。