既約多項式の証明

質問

p：素数
Zp=Z/(p)とする.
多項式f(x)=a0+a1x+・・adx^d∈Z[x]に対して、
f￣(x)=a0￣+a1￣x+・・ad￣x^d∈Zp[x]として、(a￣∈Zpは整数aの剰余項)
最高次の項の係数がpで割れない原始多項式f(x)∈Z[x]について、f￣(x)がZp[x]の既約元であれば、f(x)はZ[x]の既約元である
ということを示したいのですが、f(x)が既約元でなくf=ghとおいて示そうとしてるのですが、ごちゃごちゃになっていまいちできません。どのような解法が適切でしょうか。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

方針は良いと思います。f￣が既約としてあるのでg￣かh￣のどちらかが1でたとえばh￣を1としましょう。そうするともとのhは定数項以外すべてpの倍数を係数に持つのでfの最高次係数はpの倍数、これはfの仮定と矛盾です。

お礼

h￣の元が0ってことはpで割り切れるということですね。
ありがとうございました。