数学 極限

質問

lim x→∞ log0.2{3^(1/x)－1}

教科書やチャートで解法を調べても
よく分かりませんでした。

解答を教えて下さい<(__)>

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の回答

>何かの定理を使ったのでしょうか？申し訳ございませんがよく分からないです...。

何も定理は使っていません。単純に変数変換しているだけです。
x →　y=1/x
y → z=3^y

>lim x→∞ log0.2 {3^(1/x)－1}
>=lim x→∞ log0.2 {3^(0)－1}　…(1)
>=lim x→∞ log0.2 (1－1) …(2)

>私はこの方法で解いたのですが
(1)も(2)もダメですね。
対数は真数がゼロとなる値を代入出来ません。
対数の真数は正でないと定義されません。

>この先が分かりません。
対数が定義されない式から先の計算は不可能です。先を考える意味がありません。
A#2の回答のように対数の真数が正となるようにしながら極限を求めます。

対数の底が半端な数値の場合は底の変換公式を使えばいいでしょう。
公式：log(a)x=log x/log a
今の場合　a=0.2
log a=log 0.2=log (1/5)=-log 5 < 0

お礼

解決しました。
回答ありがとうございました！

回答No.2

info22_

lim x→∞ log0.2{3^(1/x)－1}
=lim y→+0 log0.2{3^y－1}
=lim z→1+0 log0.2{z－1}
=lim z→1+0 log{z－1}/log(0.2)
=lim z→1+0 log{z－1}/{-log(5)}
=+∞(発散)

補足

回答ありがとうございます。

何かの定理を使ったのでしょうか？申し訳ございませんがよく分からないです...。

lim x→∞ log0.2 {3^(1/x)－1}

=lim x→∞ log0.2 {3^(0)－1}
=lim x→∞ log0.2 (1－1)

私はこの方法で解いたのですが
この先が分かりません。

回答をいただけましたらよろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic

「0.2」は、こんなところを0.2倍しても、意味があるとは思えないので、「対数の底」ですよね？

ならば、解法を調べる、なんて次元の問題じゃなく、まずは、y = log[0.2](x) のグラフを描いて… （描けますよね？)

x→∞ のとき、1/x→0、3^(1/x)→1、3^(1/x)-1→0 だから、グラフ見れば…、で、大丈夫ですよね。

∞は値じゃないので、代入とか試験で書くと怒られますが、心のメモ程度なら、1/∞ = 0 という感じで、代入？をしていって、それで値？(？が付くのは、∞の場合も含んで、というつもり)が出たら、特に解法を考えるまでもありません。

悩むのは、∞-∞、∞/∞、0/0、0*∞のように、これじゃ値？が決まらない、って形になってから、で、十分です。

お礼

分かりやすく教えていただき
ありがとうございました！