極限について教えて下さい！！

質問

x→+0の時、{(2logx)/x}+{(log3)/x} （＝f(x)とおく）の極限の求め方を教えて下さい！

－∞/0の不定形になってしまい、どうしたら解消できるのか分かりません。。。
問題集の解答では、過程をすっ飛ばしてlim<x→+0> f(x)＝－∞と書かれているので困っています。。。

回答よろしくお願いいたします！

回答No.3

NoSleeves · ベストアンサー

K ＜ －√(3e) を満たす任意の実数 K に対して,
δ = －1/K と取ると,
0 ＜ x ＜ δ を満たすすべての実数 x に対して,
0 ＜ 3x^2 ＜ 1/e ＜ e^(Kx) が成り立つので,
(log(3x^2))/x ＜ K となります.
つまり, lim[x→+0]f(x) = －∞ であることが分かります.

お礼

NoSleevesさん、info222_さん、Tacosanさん、ありがとうございました！
こちらが一番キッチリした解法だったのでベストアンサーに選ばせて頂きました！
皆さん、本当にありがとうございました！！！

補足

難しい。。。

δ＜1/√(3e)となるから3x^2＜3δ^2＜1/e。
K＜-√(3e)と、0＜x＜1/√(3e)からKx＞-1　(∵負の数×正の数なので不等号の向きが変わる)だからe^(-1)＜e^(Kx)。
よって、、、

という風になることを考えれば、1/eを3x^2とe^(Kx)の間に入れるためにK＜(3e)^(1/2)にした、ということでしょうか？
ということは1/eが間に入ることが予知されていたように感じます。
なぜ、1/eが間に入るとわかり、そして、なぜ1/eを間に入れるという方法を考えついたのかが分かりません。
教えてください！よろしくお願いいたします！！

回答No.4

NoSleeves

＞なぜ、1/eが間に入るとわかり、そして、なぜ1/eを間に入れるという方法を考えついたのかが分かりません。
最初に 1/e を考えたのではなく, δ = －1/K と取ったことにより, 間に入れる実数として 1/e を採用する流れになった, と理解してください.
δ = －1/K と取って証明が行き詰まれば, 別の δ を探していたでしょう.

δ の選び方は他にもたくさんありますので, 質問者様御自身でも最低1つは探してみて,
lim[x→+0]f(x) = －∞
となることの証明を, 完成させてください.

お礼

δを先に決めるのですね！
δ＝－K/√(3e)でも何とか証明できました。
しかし、見つけるのに余りに時間がかかるので、テストの時はδ＝－1/Kとおいて無理だったら諦めて、過程をすっ飛ばして「－∞に収束する」と書くしかなさそうですね。。。

しかし、－∞へ収束することの証明方法として、任意の負の実数より
小さくなることを示す、という方法、
そして、+∞に収束することの証明方法として、任意の正の実数より大きくなることを示す方法、
というのがあることを知れたので良かったです。
考えてみればごく当たり前のことだけど、こうやって教えて頂くまで気づきませんでした...
本当にありがとうございました！！

回答No.2

info222_

lim(x→+0) f(x)=lim(x→+0)log(3x^2)*(1/x)=(-∞)*(+∞)=-∞
となりませんか？

お礼

実用的な解答ですね！試験ではこっちを使うことが多くなるのではないかなと思っています。
ありがとうございました！

補足

あ、。無意識のうちに1/xを+∞に飛ばして考えてました。。。
確かに、x→0の時、1/x→+∞ですね。。。

しかし、(－∞)*(+∞)はなぜ-∞になるのですか？
勿論、感覚的には
(log3x^2)の「x^2」の部分と(1/x)の「x」の部分の比較で「x^2」の方が“進むスピード”が速いから、
というのはわかるのですが、答案作成上、そんな事を書くわけにもいかないですし、
この際、正確な所まで知りたいなと思いまして。
本来なら学校の先生に聞くのが筋だというのは承知しておりますが、冬休みなので。。。
是非ご教授願いたいです！

回答No.1

Tacosan

ちょっと待て.

－∞/0 は「不定形」じゃないだろ.

補足

x→+0の時、(1/x)→+∞なのを何を思ったのか()→0にして考えてました。。すみません。