極限値

質問

極限値の問題です。
lim　log(2＾ⅹ＋3＾ⅹ)/ⅹ　（ⅹ→∞）
lim　ⅹlog(ⅹ－a)/(ⅹ＋a)　　(ⅹ→＋∞)
lim　(1＋1/x)＾x　　(x→＋0)

答えはそれぞれ、log3、－2a、1、なのですが、何故そうなるのかが分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

[解答例]
（1）lim　log(2^x＋3^x)/x　（x→∞）
（2）lim　xlog(x－a)/(x＋a)　　(x→＋∞)
（3）lim　(1＋1/x)＾x　　(x→＋0)
とします．

(1)は, log(2^x＋3^x)=log[3^x{(2/3)^x+1}]=x・log3 +log{(2/3)^x +1}
より，xで割って，x→∞とすると
(与式)=lim[log3 +(1/x)log{(2/3)^x +1}]=log3 +0・log(0+1)=log3

(2)は，log(x－a)/(x＋a)=log(1-a/x)/(1+a/x)=log(1-a/x)-log(1+a/x)
ここでa/x=tとおくと，x→＋∞　のとき　t→0　で(正確にはaの符号によるが，以下の結果はaの符号によらず成立)
(与式)=lim (a/t){log(1-t)-log(1+t)}
=lim a[{log(1-t)}/t -{log(1+t)}/t]
=lim a[-{log(1-t)}/(-t) -{log(1+t)}/t]
=a(-1-1) [ここで lim_(t→0){log(1+t)}/t＝1・・・(*)を2回用いた．]
=-2a

(3)自然対数をとったものを考えて，
log(1＋1/x)^x=x・log(1＋1/x)
=(1/u)log(1+u)　　[1/x=u とおく．x→+0のときu→+∞]
={log(1+u)}/u→0
[不満な場合は指数関数に書き換えては？]
よって (与式)＝ e^0＝１

お礼

ありがとうございました!!
とても分かりやすいです。
式の変形にもコツがあるんですね＾＾