数学の極限の計算

質問

lim(π/2-tan^-1x)^1/log
を対数を使ってやる方法で解説していただきたいです。答えは1/eになります。
limはx→∞です。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

べき乗項が
>1/log
で終わってますが「1/log(x)」ではないですか？

そうであれば
L=lim[x→∞]((π/2)-tan^-1(x))^(1/log(x)) (x>0)
=lim[x→∞](tan^-1(1/x))^(1/log(x))
tan^-1(1/x)=yとおくと
1/x=tan(y), log(x)=-log(tan(y)) (tan(y)>0)
x→∞のとき　y→+0
L=lim[y→+0] y^(-1/log(tan(y)))
=lim[y→+0] e^(-log(y)/log(tan(y))) …(※)

L1=lim[y→+0] -log(y)/log(tan(y))
∞/∞型なのでロピタルの定理適用
=-lim[y→+0] (1/y)/(sec^2(y)/(tan(y)))
=-lim[y→+0] (cos^2(y))(tan(y)/y)
=-lim[y→+0] cos(y)(sin(y)/y)
=-1

(※)に代入
L=lim[y→+0] e^(L1)
=lim[y→+0] e^(-1)
=1/e …(答)

お礼

回答者様の計算を自分で紙に書いて試行錯誤して見たのですが
わからない点が多く、自分にはこの問題は早すぎることがわかりました。
もう少し前に戻って勉強してみます。
わざわざ私のために時間を割いてくださり本当にありがとうございました。