数学の質問

質問

整数a、b、cに対して、(4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 を満たすものの具体的な例を上げてくだされ

回答No.7

Knotopolog

＃３です．

入力ミスがありましたので訂正します．
ANo.5 の下方の式：

4(a^2＋a＋b^2＋b)＋1＝0
4(a^2＋a＋b^2＋b)＝－1

は，入力ミスで，正しくは，

2(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋1＝0
2(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＝－1

です．

回答No.6

tmpname

それとNo.3さんの解答ですが、
x^2 + y^2 = z^2 (x, y, zは正整数)を満たす3数x, y, zが
常に正整数m, nを用いて
(m^2 - n^2), 2mn, (m^2 + n^2)を表せる「訳ではありません」。
＊反例
　x=9, y=12, z=15については9^2 + 12^2 = 225 = 15^2です。
　ここでx, y, zが(m^2 - n^2), 2mn, (m^2 + n^2)で表せると
　すると、9は奇数なので明らかに9≠2mn,
　よって12=2mn →　mn=6 → (m,n) = (6,1), (3,2) (m>nに注意)
　ですが、いずれも不適です。

正しくは
＊xとyとの最大公約数をkとすると、x/k, y/kの内一方は奇数、
　他方は偶数で、今x/kが奇数とすると
　x=k(m^2-n^2), y=k*2mn, z=k(m^2 + n^2) … (1)
　となる正整数m,nが存在する
です。この場合、4a+1が奇数であることから
yの方を4a+1とおくことは明らかに不適でなので
4a+1 = k(m^2 - n^2), 4b+2 = k*2mn, c = k(m^2 + n^2)
と置くしかないですが、真ん中の式から
k, m, nが全て奇数である必要があり、結局矛盾します。
しかし、何らかの試験で解答を書く場面では、
x, y, zが (1)の形で書ける事は証明が必要であると
思われます。

回答No.5

Knotopolog

＃３です．
ピタゴラス数など使用しない直接的な証明を示ておきましょう．

(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 を満たす整数 a，b，c　は存在しない．

証明：

(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2

この式を展開して整理すると，

16a^2＋8a＋1＋16b^2＋16b＋4＝c^2
16a^2＋8a＋16b^2＋16b＋5＝c^2
8(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋5＝c^2

この式の左辺は奇数なので，c^2 は奇数でなければならない．今，
c＝2d＋1，d＝0, 1, 2, 3・・・　と置くと．

8(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋5＝(2d＋1)^2
8(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋5＝4d^2＋4d＋1

変形すると，

8(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋4＝4d^2＋4d
8(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋4＝4(d^2＋d)
2(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋1＝d(d＋1)

上式の左辺：2(2a^2＋a＋2b^2＋2b)＋1　は奇数です．
上式の右辺：d(d＋1)　は常に偶数なので，矛盾します．

また，d＝0　の場合も

4(a^2＋a＋b^2＋b)＋1＝0
4(a^2＋a＋b^2＋b)＝－1

ですから，矛盾します．　　　Ｑ.Ｅ.Ｄ.

よって，(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 を満たす整数 a，b，c　は存在しないことになります．

回答No.4

tmpname

先ず
＊4で割った余りを考えた場合は
　左辺は1になります。
　そこで右辺を4で割った余りも1になる必要が
　ありますが、そうなるのはcを4で割った余りが
　1か3になる場合だけである、
　というのはあなたが調べた通りです。
　ここまでは正しいです。要は、c=4d+1又はc=4d+3であれば、
　問題を満たすa,b,cが存在する「可能性があります」。
　ここまでは調べられました。

　問題は、そこから先です。つまりあなたが調べた結果は
　「『もし』a, b, cが存在すると『したら』
　　cを4で割った余りは1又は3でなければならない」
　という事「だけ」であって、まだ求める
　a, b, cが存在する、ということを示しては
　いないのです。論理で何を示していて、何をまだ
　示して何を示していないのかをはっきりさせる
　必要があります。

＊で、c=4d+1の場合も、c=4d+3の場合も、両辺を8で割った余りを
　更に調べれば結局は矛盾する、というわけです。

要は左辺と右辺が一致するなら、当然どんな数で割った余りも
当然一致する必要がありますが、
＊ 4で割った余りは一致する「可能性がある」
＊一方、8で割った余りは「絶対に一致しない」
という事です。

多分8で割った余りを調べるのに「c=4d+m」とおくだけで
いいのか、という事で何となく混乱しているのだと思いますが、
少し考えてみて下さい。

回答No.3

Knotopolog

(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 を満たす整数 a，b，c　は存在しない．

証明：

(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 について，

(4a＋1)^2　は奇数，(4b＋2)^2　は偶数，したがって，c^2 は奇数でなければならない．

また，(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 により，4a＋1，4b＋2，c　はいずれも「ピタゴラス数」でなければならない．ピタゴラス数は，(α^2)－(β^2)，2αβ，(α^2)＋(β^2)　であり，{(α^2)－(β^2)}^2 ＋{2αβ}^2 ＝{(α^2)＋(β^2)}^2 を満たす．ここで，α，βは，正の整数とする．

いま，次のように置く．

(α^2)－(β^2)＝4b＋2　・・・（１）

2αβ＝4a＋1　・・・・・・・（２）

(α^2)＋(β^2)＝c　・・・・・（３）

これは，（２）が，偶数＝奇数，となり，矛盾するので，a，b，c　は，整数で得られない．次に，以下のように置く．

(α^2)－(β^2)＝4a＋1　・・・（４）

2αβ＝4b＋2　・・・・・・・（５）

(α^2)＋(β^2)＝c　・・・・・（６）

（５）より，

αβ＝2b＋1　・・・・・・・（７）

となるので，2b＋1　が奇数ですから，αβは奇数でなければならない．したがって，αとβはいずれも奇数でなければならない．αとβが奇数ならば，α^2　と　β^2　も奇数である．ところが，（４）は，4a＋1　が奇数なので，(α^2)－(β^2)＝4a＋1　は，

奇数－奇数＝奇数，となり，矛盾である．なぜならば，
奇数－奇数は，偶数であり，偶数＝奇数となり矛盾である．

　　　　　　　　　　　　　　　(Q.E.D.)

したがって，(4a＋1)^2＋(4b＋2)^2＝c^2 を満たす整数 a，b，c　は存在しない．ということが証明された．

回答No.2

tmpname

> m=0 -> m^2 = 0 -> cを8で割った余りは0
正しくは「c^2を8で割った余りは0」です

回答No.1

tmpname

8で割った余りを考えると

左辺=8(2a^2 +a + 2b^2 + 2b) +5
であるから左辺を8で割った余りは5です。

一方右辺ですが、c=4d+m（cを4で割った余りがm）
とおくと、
c^2 = 8(2d^2 + dm) +m^2で、
m=0 -> m^2 = 0 -> cを8で割った余りは0
m=1 -> m^2 = 1 -> 同様に1
m=2 -> m^2 = 4 -> 同様に4
m=3 -> m^2 = 9 -> 同様に1
となって、5にはなりません。

つまり、求めるものは存在しません。

補足

ですが、4で割った余りを考えると

左辺=4(4a^2 +2a + 4b^2 + 2b+1) +1
で、左辺を4で割った余りは1

右辺は、c=4d+m（cを4で割った余りがm）
とおくと、
c^2 = 4(4d^2 + 2dm) +m^2で、
m=0 ⇒m^2 = 0 ⇒ cを4で割った余りは0
m=1 ⇒ m^2 = 1 ⇒ 同様に1
m=2 ⇒ m^2 = 4 ⇒ 同様に0
m=3 ⇒ m^2 = 9 ⇒ 同様に1

となって、存在しませんか？？
こんがらがってきたので、矛盾があれば指摘して下さい。