数学についてです。

質問

整数A,B,Cについて、Aの２乗＋Ｂの２乗＋Ｃの２乗が偶数ならば、ＡＢＣは偶数であることを証明せよ。

この問題の解き方を教えて下さい。

回答No.4

kmee · ベストアンサー

偶数×奇数=偶数ですよ>#1さん

対偶を証明するなら

ABCが奇数なら、A,B,C全て奇数
A=2a+1
B=2b+1
C=2c+1
a,b,cは整数
A^2+B^2+C^2=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2
=(以下略)

では?

A=2a+k
B=2b+m
C=2c+n
(k,m,nは0または1)
として、直接証明もできそうな気がします。

お礼

ありがとうございます。

無事、解けました。

回答No.6

Tacosan

もちろん直接の証明もできます＞#4. 結論的には「A, B, C のうち奇数個が偶数」なので, 組み合わせを出すのがちょっと面倒な感じですが.

回答No.5

asuncion

大変申し訳ありません。
私の先ほどの回答には、根本的な欠陥がありました。
ABCが奇数になるのは、
A, B, Cがすべて奇数のときです。
A, B, Cのうち1個でも偶数があれば、ABCは偶数です。
A = 2s + 1
B = 2t + 1
C = 2r + 1
とおいてから、A^2 + B^2 + C^2を計算してみてください。

回答No.3

Tacosan

根本的に
A, B, Cの積ABCが奇数であるとする。このとき、
A, B, Cのうち1個だけが奇数で、残り2個は偶数である。
が間違っているのですが＞#1.

「全部奇数」ですよね....

回答No.2

asuncion

おっと失礼。式の展開に間違いがありました。

誤
= 4s^2 + 4s + 1 + 4t^2 + 4r^2
= 4(s^2 + t^2 + r^2) + 1

正
= 4s^2 + 4s + 1 + 4t^2 + 4r^2
= 4(s^2 + s + t^2 + r^2) + 1

証明のストーリーそのものには影響ありません。

回答No.1

asuncion

対偶を使って証明するのが楽かもしれません。
A, B, Cの積ABCが奇数であるとする。このとき、
A, B, Cのうち1個だけが奇数で、残り2個は偶数である。
なぜなら、偶数 × 偶数 = 偶数であり、偶数 × 奇数 = 奇数だからである。
さて、A, B, Cのうち1個が奇数であるので、ここではAを奇数としてみる。
すると、
A = 2s + 1
B = 2t
C = 2r
の形で書くことができる。そうすると、
A^2 + B^2 + C^2
= (2s + 1)^2 + (2t)^2 + (2r)^2
= 4s^2 + 4s + 1 + 4t^2 + 4r^2
= 4(s^2 + t^2 + r^2) + 1
ここで、4(s^2 + t^2 + r^2)は4の倍数であるから偶数であることは明らか。
よって、A^2 + B^2 + C^2は奇数である。
ここまでで、Aが奇数、かつ、BとCが偶数ならば、A^2 + B^2 + C^2は奇数であることがわかった。
AではなくBのみが奇数の場合も、Cのみが奇数の場合も本質的には同じ。
よって、A, B, Cのうち1個だけが奇数、すなわちABCが奇数ならば、
A^2 + B^2 + C^2は奇数である。
これはもとの命題の対偶に等しい。
一般に、ある命題の真偽とその対偶の真偽とは一致するから、
もとの命題は真であることが証明できた。

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。

明日テストなので助かりました。