代数学問題について

質問

(1)整数a,b,n（n>1）についてa≡b（mod n）ならば、｛aをnで割ったときの余りとbをnで割ったときの余りが等しい｝を示すとき、の発想が分かりません。どうやって解答をかけばよいのでしょうか？？
(2)整数a,b,m(>0),n(n>1)と正の整数kについて、()a≡b(mod mn)ならばa≡b(mond n) ()a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod kn) ()a≡b(mod n)⇔ka≡kb(mod n) を示す方法が分かりません。
(3)(m,n)>1のとき、a≡０(mod m),a≡０(mod n)ならば、a≡０(mod mn)は成り立たないとあったのですが、なぜでしょう？具体例などありますか？どうか教えてくだい！！

回答No.3

pascal3141 · ベストアンサー

（１）a≡b（mod n）は、a=pn+r,b=qn+r(p,q,r：整数、r<n)と置いて考えるといいと思います。
（２）は、たとえば、a≡b(mod mn)ならばa≡b(mod n) を説明して見ます。仮定は、a=pmn+r,b=qmn+r(p,q,r：整数、r<mn)となります。これをnで割った形に直せばいいのです。どちらも初項はnの倍数でＯＫなので、rをｎで割った形に表すと、r=sn+t(s,t:整数、t<n)とおけるので、a=pmn+r=pmn+sn+t=p'n+t,b=qmn+r=qmn+sn+t=q'n+t(p',q'：整数　t<n）となりa≡b(mod n)が言えます。同様の方法で残りも、（３）もできます。がんばってください。

回答No.2

hotarana

とりあえず、（３）の成立しない具体例だけ。
a=18、m=2、n=6の時
18≡0(mod 2)、18≡0(mod 6)ですが、
18≡6(mod 12)になります。

回答No.1

ojisan7

(3)について、(m,n)>1であれば、整域ではないので、
a≡０(mod m),a≡０(mod n)ならばa≡０(mod mn)は成り立ちません。

具体例
m＝４、n＝６　(m,n)＝２のときを考えれば明らかです。
１２≡０(mod ４),１２≡０(mod ６)ですが、
１２≡０(mod ２４)は成り立ちません。