数学 円

質問

円　x^2+y^2=2 と直線　y=x+kのグラフが接するとき、接点の座標をもとめよ。

解説・解答お願います(>_<)

回答No.4

Tofu-Yo · ベストアンサー

ANo2の者です。
判別式Dは、
D/4=k^2-2(k^2-2)
となりましたか？D=0でk=±2と出てきますよ。

回答No.3

Ishiwara

おおげさな話ではなく、このレベルの問題であれば、１秒で答をイメージすることができます。
イメージングの訓練をすれば、あなたにも、きっとできますよ。

頭の中で、原点を中心として、点（-1,+1)を通る円を描きます。この円の半径は、√２ですよね。
次に、点（-2,0）を通って、勾配が４５度の直線を引きます。
この円と直線は、最初の点で接します。

注意すべきことは、勾配が+45度と-45度の２つあることです。

回答No.2

Tofu-Yo

接するということは、円と直線が１点しか共有点を持たないということです。言い換えれば、連立方程式
　x^2+y^2=2
　y=x+k　　　　　　　　　・・・（１）
が、解を１つしか持たない（正確には重解を持つっていうのかな？）ということです。
なので、連立方程式（１）でyを消去した２次方程式
　x^2+(x+k)^2=2　　　　・・・（２）
ももちろん重解を持たなければなりません。（異なる２つの実数解があったら円と直線の交点が２つあることになり、接しないことになります。また、実数解がないと円と直線はまったく交わらないことを意味し、やはり接しないことになります。）

したがって（２）の判別式D=0が接する条件となります。そうするときっとｋが２つ出てくると思いますので、あとはそれぞれの場合について（２）を解いて、さらに（１）を解けばよいです。

と、以上が正攻法の解き方ですが、もっと簡単に解く方法としては、「原点中心半径√２の円に直線が接する」⇔「直線と原点の距離が√２」なので、絵をかいてみると、すぐｋ＝±２とわかります。

お礼

回答ありがとうございます。

判別式をといたら、3/7と-3/7になったんですけどそのあと（２）と（１）に代入しても2,-2が出てこないんですけどどうやるんですか？

回答No.1

PoorHouse

傾きが１の直線と円が接するので、接点は二箇所になります。
円の軌道をイメージして、その傾きが１（４５度）になる点というと・・・？

直線と円が接する問題は入試などでも頻出なので
いろいろな角度から眺めるといろいろ分かることが多いかもしれません