数学IIb

質問

円C：x²+2x+ｙ²-6y-6=0と直線ｌ：4x-3y+k=0(k>0)において
ア）円Cと直線ｌが接するときk=(10)(11)
　接点の座標は（-(12)(13)/(14)、(15)(16)/(17)）である。
イ）円Cと直線ｌが2点P,Qで交わりPQ=６ならばk=(18)√(19)+(20)㉑
である。
(10)～㉑に入る答えの解答と解説をよろしくお願いします。

回答No.6

info222_

円C：x²+2x+ｙ²-6y-6=0 ...[1]
直線ｌ：4x-3y+k=0(k>0) ,,,[2]
[2]より
4x-3y+k=0, y=(4x+k)/3 ...[3]
[3]を[1]に代入してyを消去
25x^2+2(4k-27)x+k^2-18k-54=0 ... [4]
D/4=(4k-27)^2-25(k^2-18k-54) =-9(k+7)(k-33) ...[5]
ア）円Cと直線ｌが接するとき
接する条件: [5]の判別式D/4=0より
(k+7)(k-33)=0 ...[6]
k>0より k=33 ...[7]
(10)=3, (11)=33
接点の座標は
[4],[6]より
25x^2+210x+441=0, x=-21/5, y=27/5 ...[8]
(-21/5, 27/5)
(12)=2, (13)=1, (14)=5、(15)=2, (16)=7, (17)=5。

イ）円Cと直線ｌが2点P,Qで交わ交わる条件
[5]の判別式D/4>0より
(k+7)(k-33)<0 ...[9]
k>0より 0<k<33 ...[10]
円C：x²+2x+ｙ²-6y-6=0 ...[1]
(x+1)^2+(y-3)^2=16 ...[11]
中心座標O(-1,3), 半径r=4
PQ=６なのでPQの中点をMとして
OM=√(16-3^2)=√7=|4(-1)-3*3+k|/5
|k-13|=5√7 ...[12]
[10]より 0<k<33 なので, k=5√7+13 ...[13]
k=(18)√(19)+(20)
(18) 5, (19) 7, (20) 13

回答No.5

noname#227255

ANo.4の大勢には影響のない訂正です。

本文上から2行目
誤：「これを変形すると、y=4x/3+k」→正：「これを変形すると、y=4x/3+k/3」

ついでに、ANo.3ア）の補足です。

円Cの中心(-1,3)を通り、直線lに垂直な直線は、y=-3(x+1)/4+3=-3x/4+9/4－(2)
これと円Cの交点（円Cと直線lの接点）のx座標は、式(2)を式(1)に代入すると、
25x^2+50x-231＝0
(5x+21)(5x-11)=0
これから、x=-21/5,11/5
あとは、k＞0となるように図を描けば、x=-21/5であることが明らかになります。

回答No.4

noname#227255

ア）の別解です。

直線l：4x-3y+k=0
これを変形すると、y=4x/3+k
これから、直線lの傾きは4/3
円C：x^2+2x+y^2-6y-6=0－(1)
これを変形すると、y^2-6y=-x^2-2x+6
この両辺をxについて微分すると、
2y*dy/dx-6*dy/dx=-2x-2
(2y-6)dy/dx=-(2x+2)
dy/dx=-(2x+2)/(2y-6)=-3(x+1)/(3y-9)－(2)
k=33であるから、直線l：4x-3y+33=0
これから、3y=4x+33
これを、式(2)に代入すると、
-3(x+1)/{(4x+33)-9}=-3(x+1)/4(x+6)
これが、直線lの傾き4/3に等しくなるので、接点のx座標は、
-3(x+1)/4(x+6)=4/3を解くと、x=-21/5

また、直線l：4x-3y+33=0であるから、これを変形すると、y=4x/3+11
これを式(1)に代入すると、25x^2+210x+441=0－(3)
円Cと直線lが接するので、式(3)における判別式D=0になり、接点のx座標は、解の公式から簡単に、
x=-105/25=-21/5
なお、式(3)の左辺を因数分解するまでもありませんが、結果は次の通りです。
25x^2+210x+441=(5x+21)^2

回答No.3

noname#227255

円C：x^2+2x+y^2-6y-6=0－(1)
これを変形すると、(x+1)^2+(y-3)^2=4^2
これから、円Cの中心は(-1,3)、半径は4

ア）
円Cの中心(-1,3)と直線lとの距離は、
|4*(-1)-3*3+k|/√{4^2+(-3)^2}=|k-13|/5
これが円Cの半径4と一致するので、|k-13|/5=4
両辺を2乗してkについての2次方程式を解くと、k=33(k＞0)
よって、(10)3、(11)3
また、直線l：4x-3y+k=0
これを変形すると、y=4x/3+k/3
円Cの中心(-1,3)を通り、直線lに垂直な直線は、y=-3x/4+9/4－(2)
これと円Cの交点（円Cと直線lの接点）のx座標は、式(1)(2)から、x=-21/5,11/5
あとは、図を描けば明らかで、x=-21/5のときに式(2)からy=27/5
よって、(12)2、(13)1、(14)5、(15)2、(16)7、(17)5

イ）
ア）から、円Cの中心(-1,3)と直線lとの距離は、|k-13|/5
これが、図を描けば明らかで、三平方の定理から、√{4^2-(6/2)^2}=√7に一致するので、
|k-13|/5=√7
両辺を2乗してkについての2次方程式を解くと、k=5√7+13(k＞0)
よって、(18)5、(19)7、(20)1、(21)3

回答No.2

asuncion

おっと入力ミスが。
＞k = 33, 7
ではなくてk = 33, -7
k > 0より、k = 33
ですね。

回答No.1

asuncion

円C:x^2 + 2x + y^2 - 6y - 6 = 0 ... (1)
直線l:4x - 3y + k = 0(k > 0)より、y = (4x + k)/3 ... (2)

ア)円Cと直線lが接するとは、(1)(2)を連立させたときにできる
2次方程式が重解を持つ、すなわち判別式=0ということである。そこで、(2)を(1)に代入してみる。
x^2 + 2x + (4x + k)^2/9 - 2(4x + k) - 6 = 0
9x^2 + 18x + 16x^2 + 8kx + k^2 - 72x - 18k - 54 = 0
25x^2 + (8k - 54)x + k^2 - 18k - 54 = 0
D/4 = (4k - 27)^2 - 25(k^2 - 18k - 54)
= -9k^2 +234k + 2079 = 0
k^2 - 26k - 231 = 0
(k - 33)(k + 7) = 0
k = 33, 7
k > 0より、k = 33

イ）2点で交わるということは円と直線を連立させたときの2次方程式の
判別式>0ということであり、直線の式を円の式に代入すると(P, Q)の組が
2つ出てくるはず。PQの距離が6であることを利用してkが出てくるはず。
もう夜も遅いので、ここまで。