数学 三角形の外接円

質問

三直線ｘ－y＝０、ｘ＋y－３＝０、ｘ＋2y＋１＝０によって作られる三角形の重心の座標と、外接円の方程式を求めよ。

という問題で、重心の座標はわかったのですが、方程式がわかりません。
解答を教えてください。

答えは、ｘ２乗＋ｙ２乗－6ｘ＋４y－７です。

回答No.3

bran111

ｘ－y＝０、ｘ＋y－３＝０、ｘ＋2y＋１＝０

3直線の交点として頂点を求めると

A(3/2,3/2), B(-1/3,-1/3),C(7,-4)

３点のx座標、ｙ座標の相加平均として重心の座標Gが得られる。

G(49/12,-17/12）

⊿ABCは∠Aを直角とする直角三角形ということがわかりますか。

従って⊿ABCの外接円の中心OはBCの中点であって

O(10/3、-13/6）

半径rは

r=√[(7-10/3)^2+(-4+13/6)^2]=(11/6)√5

外接円の方程式は

(x-10/3)^2+(y+13/6)^2=5(11/6)^2

回答No.2

yyssaa

>問題と答えのいずれかが間違っているので、再確認のこと。
問題が正しいとして解けば、外接円の方程式は以下の通り。
なお、「答えは、ｘ２乗＋ｙ２乗－6ｘ＋４y－７です。」と書かれているが
ｘ２乗＋ｙ２乗－6ｘ＋４y－７は方程式ではない。
ｘ２乗＋ｙ２乗－6ｘ＋４y－７＝０なら方程式になる。が、この問題の
正解ではない。

＞三角形の辺の垂直二等分線の交点が外接円の中心(外心)。
x-y=0・・(1)、x+y-3=0・・(2)、x+2y+1=0・・(3)とすると、
(1)と(2)の交点(Aとする)はA(3/2,3/2)
(1)と(3)の交点(Bとする)はB(-1/3,-1/3)
(2)と(3)の交点(Cとする)はC(7,-4)
ABの中点(Dとする)はD(Dx,Dy)とすると
Dx=(3/2-1/3)/2=7/12からD(7/12,7/12)
ABの垂直二等分線は点Dを通り(1)と直交する直線だから
(y-7/12)/(x-7/12)=-1からy=-x+7/6・・(4)
ACの中点(Eとする)はE(Ex,Ey)とすると
Ex=(3/2+7)/2=17/4、Ey=3-Ex=3-17/4=-5/4からE(17/4,-5/4)
ACの垂直二等分線は点Eを通り(2)と直交する直線だから
(y+5/4)/(x-17/4)=1からy=x-11/2・・(5)
(4)と(5)の交点が外心だから、これを点F(Fx,Fy)とすると
(4)、(5)を連立で解いてF(10/3,-13/6)
線分FCの長さは三平方の定理により
√{(10/3-7)^2+(-13/6+4)^2}=√(11/3)^2+(11/6)^2}=(11√5/6)
よって外接円の方程式は(x-10/3)^2+(y+13/6)^2=(11√5/6)^2
これを整理するとx^2-(20/3)x+100/9+y^2+(13/3)y+169/36=605/36
3x^2-20x+3y^2+13y-3=0・・・答

回答No.1

kagakusuki

重心の座標を求める際に、三角形の3つの頂点の座標をそれぞれ求めていた筈です。
　半径がrの円の方程式は

x^2+y^2+l×x+m×y+n=0

なのですから、上記の円の方程式に、3つの頂点のそれぞれにおけるx座標の値と、y座標の値を代入する事で、l、m、nの3つの未知数を持つ3元1次連立方程式とし、その3元連立方程式を解く事でl、m、nの3つの未知数のそれぞれの値を求めれば良い訳です。

【参考URL】
　マナペディア > 数学/数学II > 円の方程式 > ３つの点から円の方程式を求める
　　http://manapedia.jp/text/658