数学 絶対値

質問

絶対値の解き方がわからないです(>_<)

２｜x-1｜+｜x+2｜<6

やり方教えて下さい(>_<)

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

絶対値というのは、マイナスの数もプラスにしちゃうということですよね。
ということは、マイナスの数の絶対値は、その数に　－１　をかけたり、かっこの前にマイナス記号をつけたりするのと同じです。
だって、マイナス×マイナス＝プラス　なのですからね。

ではまず、｜ｘ－１｜　について考えます。

ｘ＝－２　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜－２－１｜　＝　－（－２－１）　＝　－（ｘ－１）
ｘ＝－１　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜－１－１｜　＝　－（－１－１）　＝　－（ｘ－１）
ｘ＝０　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜０－１｜　＝　－（０－１）　＝　－（ｘ－１）
ｘ＝１　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜１－１｜　＝　０　＝　±（ｘ－１）
ｘ＝２　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜２－１｜　＝　＋（２－１）　＝　＋（ｘ－１）
ｘ＝３　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜１－１｜　＝　＋（３－１）　＝　＋（ｘ－１）
ｘ＝４　のとき　｜ｘ－１｜　＝　｜１－１｜　＝　＋（４－１）　＝　＋（ｘ－１）

以上のことからわかるとおり、
・　ｘ＜１　のとき、｜ｘ－１｜　＝　－（ｘ－１）
・　ｘ＝１　のとき、｜ｘ－１｜　＝　－（ｘ－１）でも（ｘ－１）でもＯＫ
・　ｘ＞１　のとき、｜ｘ－１｜　＝　ｘ－１
となって、（ｘ－１）の前にマイナスがつくかどうかの境目は　ｘ＝１　のところにあります。

同様に、｜ｘ＋２｜については、（ｘ＋２）の前にマイナスが付くかどうかの境目は、ｘ＝－２　のところにあります。
ですので、
２｜ｘ－１｜　＋　｜ｘ＋２｜　の境目は、ｘ＝１　と　ｘ－２　の２か所あるということです。

ｘ＜－２　のとき
　｜ｘ－１｜＝－（ｘ－１）、｜ｘ＋２｜＝－（ｘ＋２）
ｘ＝－２　（境目）　のとき
　｜ｘ－１｜＝－（ｘ－１）、｜ｘ＋２｜＝±（ｘ＋２）
－２＜ｘ＜１　のとき
　｜ｘ－１｜＝－（ｘ－１）、｜ｘ＋２｜＝＋（ｘ＋２）
ｘ＝１　（境目）　のとき
　｜ｘ－１｜＝±（ｘ－１）、｜ｘ＋２｜＝＋（ｘ＋２）
ｘ＞１　のとき
　｜ｘ－１｜＝＋（ｘ－１）、｜ｘ＋２｜＝＋（ｘ＋２）

以上のことから、
ｘ≦－２　のとき、
　－２（ｘ－１）－（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（あ）
－２＜ｘ≦１　のとき
　－２（ｘ－１）＋（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（い）
１＜ｘ　のとき
　２（ｘ－１）＋（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（う）
というふうに、３つの範囲に整理できます。

それは、つまり、
ｘ≦－２　かつ　－２（ｘ－１）－（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（あ’）
－２＜ｘ≦１　かつ　－２（ｘ－１）＋（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（い’）
１＜ｘ　かつ　２（ｘ－１）＋（ｘ＋２）　＜　６　　・・・（う’）
ということであって、問題の答えになるのは「（あ’）または（い’）または（う’）」です。

（あ）を解いてみます。
－２ｘ＋２－ｘ－２　＜　６
なので、
ｘ＞－２
これは、前提の範囲　ｘ≦－２　と矛盾するので、（あ’）の解は無しということになります。

（い）を解いてみます。
－２ｘ＋２＋ｘ＋２　＜　６
なので
ｘ＞－２
そして前提の範囲は、－２＜ｘ≦１　なので、
結局、（い’）の解は、－２＜ｘ≦１　です。

（う）を解いてみます。
２ｘ－２＋ｘ＋２　＜　６
なので、
ｘ＜２
そして前提の範囲は、１＜ｘ　なので、
（う’）の解は、１＜ｘ＜２　です。

問題の答えは、
（あ’）または（い’）または（う’）なので、
解無し　または　－２＜ｘ≦１　または　１＜ｘ＜２
つまり、
－２＜ｘ＜２　が答えになります。

少し検算してみましょう。
ｘ＝０　ならＯＫのはず。
２｜０－１｜　＋　｜０＋２｜　＝　４　＜　６
合いました。

ｘ＝１　でもＯＫのはず。
２｜１－１｜　＋　｜１＋２｜　＝　３　＜　６

ｘ＝－２　なら、ぎりぎりアウトのはず。
２｜－２－１｜　＋　｜－２＋２｜　＝　６
合いました。

ｘ＝２　でも、ぎりぎりアウトのはず。
２｜２－１｜　＋　｜２＋２｜　＝　６
合いました。

ｘ＝１００　なら、アウトのはず。
２｜１００－１｜　＋　｜１００＋２｜　＝　２×９９　＋　１０２　＞　６
合いました。

絶対値記号のある不等式は、以上のとおり面倒くさいんですが、
慣れると、問題を見ただけで一発で（あ’）～（う’）の式が書けるようになります。

回答No.1

noname#157574

絶対値記号の中の数式の正負で場合分けする。本問の場合，1≦x，－2≦x＜1，x＜－2の3通りで場合分けする。この際，場合分けした際の条件に注意。