代数学 位数の掛け算

質問

二時間近く転んでわからん問題がありましたので、皆さんに質問します。なるべく早く回答お願いします。
ある定理として、
群Gの位数有限の元aに対して、O(a)=rs, (r,s)=1とすれば，位数がそれぞれr，sの可換な2元b，cが存在して
a=bc=cb (O(b)=r,O(c)=s)
と表される。
ここで、O()というのは元の位数です。
で、証明において、
直積分解<a>=<a^s>*<a^r>において、a=bc(b∈<a^s>, c∈<a^r>)と分解されたとする。このとき明らかにbc=cb, O(a)=O(b)O(c)が成り立つ。一方O(b)｜O(a^s)=r, O(c)｜O(a^r)=sで、O(a)=rsであるからO(b)=r, O(c)=sとなる。
とあるのですが、ここで、
O(a)=O(b)O(c)が成り立つ
というところがわかりません。なぜに当然なのでしょうか。<a^s>の元だからと言って、常に位数がrだとは限らないと思うのですが…。一体どこで思い違いしているのか。回答可能な方よろしくお願いします。明日のセミナーに間に合わせないといけませんので、スピード回答をお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

明らかにbc=cbは成り立ちます。 O(a)=O(b)O(c)も成り立ちそうです。しかし、まだこの段階では、O(b)=r, O(c)=sであることはわかりません。

O(a)=O(b)O(c)が成り立つ理由を考えてみます。
O(b)｜r, O(c)｜sですから、O(a)>=O(b)O(c)が成り立ちます。また、O(a)=O(bc)<=O(b)O(c)が成り立つことは明らかです。なぜなら、O(bc)<=O(<b>*<c>)<=O(b)O(c)となるからです（ここでbc=cbであることを使っています）。
したがって、O(a)=O(b)O(c)が成り立つのです。

お礼

なるほどっ　等号を不等号でばらばらにするのは思い至りませんでした。後半の不等号の付け方も優雅ですねぇ。…うっとり。非常に勉強になりました。明日後輩に教えてあげられます。大変助かりました。ありがとうございます！！でわ～＾＾ドモデシタ