数3の問題で質問です！

質問

画像の積分計算わかるひといませんか？？

答えはわかるのですが
計算過程がわかりません！！

どなたか教えてください！！

ちなみに答えは

π/54（1ーe-2/3乗)です！！

よろしくお願いします！！！

回答No.4

gear0312 · ベストアンサー

俺の解答だと、答えが-になってしまったようなんだが、以下のようにすればいけるんじゃないかな。

-18x^3　＝　t　とおく。
dt/dx = -54 x^2
x 0→1/3
t 0→-2/3

すると
x^2*e^(-18x^3)dx = -1/54 e^t dt

となるので、ｔの範囲で積分すると求められると思われる。

置換積分で、ｄｘと一緒にｘの項も消してしまえるって奴ですね。

お礼

できましたっ！

丁寧にご回答ありがとうございます！

回答No.5

info22_

{e^(-18x^3)}'=(-18x^3)'*{e^(-18x^3)}=-54(x^2)e^(-18x^3)
なので
∫(x^2)e^(-18x^3)dx=-(1/54)e^(-18x^3)+C
したがって
I=π∫[0,1/3] x^2 e^(-18x^3)dx=-(π/54)[e^(-18x^3)] [x=0,1/3]
=(π/54)[1-e^(-18/27)]
=(π/54){1-e^(-2/3)}

回答No.3

bibendumbibendum

１８x＾３＝tとおきます。
すると
５４ｘ＾２dx＝dt
です。
積分の中の式が
exp(-t)/54dt
になります。
あとはわかると思います。

回答No.2

noname#185706

{e^(-18x^3)}'
= {e^(-18x^3)}×(-18x^3)'
= {e^(-18x^3)}×(-54x^2)
= -54 x^2 e^(-18x^3)
よって
(与式)
= π[e^(-18x^3)/(-54)][0→1/3]
= (π/54){e^0 - e^(-18/27)}
= (π/54){1 - e^(-2/3)}

回答No.1

hitokotonusi

e^(-18x^3)を微分してみると

d[e^(-18x^3)]/dx=-18 * 3x^2 e^(-18x^3)=-54 x^2 e^(-18x^3)

したがって、

x^2 e^(-18x^3)dx = -(1/54) { d[e^(-18x^3)]/dx } dx = -(1/54) d[e^(-18x^3)]

あとはわかると思います。