積分の問題です

質問

化学系の学科に所属している学生です。

添付画像の積分が解けなくて困っています。
なお、Plm(x)はルジャンドル陪関数です。

ちなみにarccos xが2乗ではなく1乗のときは
arccos x = π/2 - arcsin x とおき、
ルジャンドル陪関数の2乗が偶関数である性質と
arcsin x が奇関数という関係から2つのインテグラルのうち片方が0となり、
もう一方もルジャンドル陪関数の2乗の積分計算へと持ちこめるため計算できました。

arccos x が2乗の際、この積分計算はどのように解いたら良いでしょうか？
解法だけでもいいので、宜しければご指摘願います。

回答No.1

Mr_Holland

質問掲載時から関心を持って優秀な方の回答を待っているのですが、そろそろ2週間が経とうとしていますので、アイデア・レベルで恐縮ですが、気づいた範囲で回答いたします。

　そのアイデアは、パーセバルの等式　と　フーリエ級数　を使ってはどうかというものです。
http://www.akita-nct.ac.jp/~yamamoto/lecture/2006/3E/10th/html/node3.html

　私も様々な部分積分や x=cosθ での変数変換、ルジャンドル陪関数の漸化式の利用、微分漸化式の利用を試みましたが、うまくいきませんでした。
　悩んでいるうちに　被積分関数が2乗の形になっているものの定積分を求めるなら　パーセバルの等式　が有用であることに気づきました。　Plm(x)arccos(x) のフーリエ級数が求められれば、フーリエ係数の平方級数で　求めたい定積分が実行できるのではないかと思っています。

　ただそのためには、Plm(x)arccos(x) の(x=cosθとして）定積分を行い、フーリエ係数を求めなければなりません。
　残念ながら　一般のPlm(cosθ)のフーリエ展開式は分かりませんが、いくつかの具体的なPlm(cosθ)を見ると、いずれもフーリエ展開の式になっていますので、手間はかかりますが、いくつかの代表的なplm(cosθ)θsinθのフーリエ係数を求めて　漸化式　または　数学的帰納法　などを使って　一般のフーリエ級数を求めてはどうかと今は考えています。
　このアイデアの不安な点は、パーセバルの等式で級数の式を求めたとき、それがうまく収束しまとまってくれるかということ、そしてもう一つは、一般のPlm(x)^2 arccos(x)^2　に持っていくことができるかということの2点です。

　こんなまどろっこしい方法より　スマートで簡潔に求められる方法があるかもしれません。
　優秀な方の回答をお待ちしながら、上記の方法で何とかなるものなのか、こつこつと計算をしてみたいと思います。
　回答にならない回答で失礼いたしました。