数学の問題について質問です。

質問

次の式で表される図形をカテナリーという。
y=a/2(eのx/a乗＋eの-x/a乗)
この図形において、x=-x1からx=x1までのこの長さを求めよ。

全く手のつけようがありません…ちなみに理工系の微積分という教科書からの応用問題だそうです。どなたかお願いします。。

回答No.3

abyss-sym

∫1/2{e^(x/a)+e^(-x/a)}dx=ae^(x1/a)-ae^(-x1/a)
になります。

回答No.2

pascal3141

cosh(x)=(1/2)｛e^(x)＋e^(-x)},sinh(x)=(1/2)｛e^(x)-e^(-x)}
cosh(x)^2=1+sinh(x)^2,cosh(x)'=sinh(x),sinh(x)'=cosh(x)という公式を使うと簡単です。
y=acosh(x/a)なので、弧の長さLは、L=∫｛√(1+(y')^2)｝dxとできます。さて√｛1+(y')^2｝=√｛1+(sinh(x/a))^2｝=√｛cosh(x/a)^2｝=cosh(x/a)なので、L=∫cosh(x/a)dx=asinh(x/a)と積分できます。これに両端のxの値を入れて、差をとれば、L=2asinh(x1/a)

回答No.1

abyss-sym

y=a/2{e^(x/a)＋e^(-x/a)}
を微分すると、y´=1/2{e^(x/a)-e^(-x/a)}
長さをＬとして
Ｌ=∫√{1+(ｙ´)^2}dx=∫√[1/4{e^(x/a)+e^(-x/a)}^2]dx
　=∫1/2{e^(x/a)+e^(-x/a)}dx
あとはx1と‐x1を入れて計算すればできます。

お礼

回答ありがとうございます！　たびたびすみません…

∫1/2{e^(x/a)+e^(-x/a)}dxは、計算したらどうなるんですか？工業高校出身なんでちんぷんかんぷんで…すみません。よろしくお願いします！