積分 （時間なくて焦ってます）

質問

∫(R^3) * e^(-R^2) dR
積分範囲：０～∞

この答えと計算過程を教えてください

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

R=rと書きます．

・r^ne^{-r^2}→0(r→∞)(n=1,2,・・・)：e^{-r^2}はr→∞のとき十分速く0に減少する

に注意．

∫_0^∞r^3e^{-r^2}dr

=∫_0^∞r^2{e^{-r^2}/(-2)}'dr

=r^2e^{-r^2]/(-2)|_0^∞-∫_0^∞(r^2)'e^{-r^2}/(-2)dr

=-∫_0^∞2re^{-r^2}/(-2)dr

=∫_0^∞re^{-r^2}dr

=e^{-r^2}/(-2)|_0^∞

=1/2

回答No.2

info22_

R^2=xとおくと
2RdR=dx
(R^3) * e^(-R^2) dR=x*e^(-x)*(1/2)dx
であるから
∫[0→∞](R^3) * e^(-R^2) dR
=∫[0→∞](1/2)x*e^(-x)dx
=(1/2)∫[0→∞]x*e^(-x)dx
部分積分して
=(1/2){[x*(-1)e^(-x)][0→∞]-∫[0→∞](-1)e^(-x)dx}
=(1/2){lim[x→∞] ((-x)/e^x) +∫[0→∞] e^(-x)dx}
ロピタルの定理より
=(1/2){lim[x→∞] ((-1)/e^x) +[-e^(-x)][0→∞]}
=(1/2)(0+1-0)
=1/2

お礼

とても詳しくありがとうございます。