中一数学、図形の問題です。

質問

考えてみたのですが、どうしても分からないのでお願いします。

1辺の長さが4cmの立方体ABCD-EFGHがある。
直線AE、辺AB、辺AD上に、それぞれ点P、Q、RをAP=2cm、AQ=1cm、AR=2cmとなるようにする。
また、直線PQと辺EFの交点をS、直線PRと辺DHの交点をTとする。

2直線PS、PTを含む平面でこの立体を切断したときの切り口がGHと交わる点をUとするとき、GUの長さを求めよ。

回答No.5

gohtraw · ベストアンサー

ＰＴの延長がＥＨと交わる点をＶとすると、ＰＥ：ＥＶ＝ＰＡ：ＡＲ＝１：１　なのでＥＶの長さは６ｃｍです。
　次に、ＡＰ：ＱＡ＝ＰＥ：ＥＳ＝２：１なのでＳＥの長さは３ｃｍです。先ほどの私の回答と同様、切断面はＰＳおよびその延長線、そしてＰＴおよびその延長線を通るので、Ｓ、およびＶは切断面上にあり、ＥＶとＧＨの交点がＵになります。ＥＶ：ＥＳ＝ＶＨ：ＨＵ＝２：１なのでＨＵの長さは１ｃｍであり、ＧＨの長さは３ｃｍです。
　やはり相似を使っていますがご参考まで。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

ZIGOMAR

ということはＰは辺AEのEの延長上にあるということですね。ただし直線AE上にあるといえばいいのかというと、そうはいかないと思います。（直線AE上の点Pでは位置が定まらないので、他の条件とあわせて辺AEと読み替えていました。）
ですから問題文の写し間違いがないのならば、この問題に出題者の意図の通りに答えることはできません。

Ｐが辺AEのEの延長上とすれば、ＰとＲを通った直線は辺DHの中点を通ることになり、PQとEFの交点をIとするとPE:EI=6:3=2:1となり、HU=1となるのでGU=3となります。

お礼

図がなければ伝わりませんよね、私のミスだと思います。
せっかく親切にお答えいただいたのに申し訳ございません。
問題文では面ABCDが上で面EFGHが下です。文字で表すと
上
奥側　B　A
手前　C D

下
奥側　F E
手前　G H
です。
そしてPは辺AEを上に2cm延長したものです。
Qは辺AB内でAから1cm、Rは2cmなので辺ADの中点。
SはFE内でF側に寄ってます。
TはDH内にあり、UはGH内のH寄りです。

よろしくお願いします。

回答No.3

gohtraw

＃１です。数値の訂正です。
ＳＥの長さはＡＱと同じく１ｃｍで、△ＳＶＥとＵＶＨの相似からＵＨ＝３ｃｍ、よってＧＵの長さは７ｃｍです。

お礼

補足の日本語がおかしかったです。
一応手元に略解はあるのですがUはGHの中にあり3cmとなっております。
の間違いでした。申し訳ありません。

補足

ありがとうございます。
一応手元に略解はあるのですがUはGHのあり中にあり3cmとなっております。
また、こちらの問題は相似など入る前の「空間図形」という分野からの出題でした。

回答No.2

ZIGOMAR

平面で立体を切断したときに、「平行な面の切り口は平行になる」というのを使います。

面ABFEと面CGHDは平行なので、切り口の線であるPSとTUは平行になります。
（FEをEの先に延長した線と、GHをHの先に延長した線を書くとわかりやすいかと思います。UはGHの延長上に現れます）

PE:ES=2:1なので、TH:HUも2:1になります。
TH=6なので、HU=3　よってGU=7

図がないのでわかりにくいかもしれませんが、途中まで考えてみたとのことなので、簡単に説明してみました。

回答No.1

gohtraw

この切断面はＰＳ（およびその延長線）上の点、およびＰＴ（およびその延長線）上の点を通ります。従って、ＰＴを延長してＥＨ（の延長）と交わった点（Ｖとします）もこの切断面上にあります。
　△ＰＲＡと△ＰＶＥは合同なのでＥＶの長さはＡＲの長さと同じ２ｃｍです。切断面がＶ、Ｓを通るということは、ＥＦＧＨを含む平面と、切断面の交線がＳＶであるということです。従ってＵはＳＶを延長した時のＧＨ（の延長線）との交点です。
　△ＳＶＥと△ＵＶＨは相似になるのでＨＵの長さは６ｃｍ、よってＧＵの長さは１０ｃｍとなります。

　中一には結構難しいのではないかと思いつつ・・・。

補足

ありがとうございます。
一応手元に略解はあるのですが3cmとなっております。
また、こちらの問題は相似など入る前の「空間図形」という分野からの出題でした。