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高校入試数学の図形問題を教えて下さい。

図のように1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがある。点Pは、対角線DF上を動く点である。DFとEPが垂直であるとき、次の問に答えよ。(1)三角形DEPと三角形FEPを求めよ。(2)四面体PEFGの体積を求めよ。この問題の解答例を教えて下さい。どうぞよろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info222_
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回答No.5

No.2です。 ANo.2の問題(1)の補足に対する解答 補足には「三角形DFPと三角形FEPの比を求めよ。」とお書きですが 三角形DFPは三角形ではなく、直線ですから面積=0です。 最初の問題にある「三角形DEPと三角形FEP」の比を求めよ。 の間違いではないですか? そうであれば ANo.2での(1)の解答で △DEPと△FEPの面積を求めた面積の比をとれば △DEP:△FEP=12√2:6√2 =2:1 と求まります。 (2)はANo.2ですでに解答した通りで良いです。 必ずしも面積を求めなくても、三角形の高さが同じなので底辺の比を求まればいいので 別解として以下のように求めても良いでしょう。 (1)の[別解] △DFP:△FEP=DP:FP=DP:(DF-DP)=1:((DF/DP)-1) ...(a) ここで、△DEF∽△DPEより DF/DP=(DF/ED)*(ED/DP)=(DF/ED)*(DF/ED)=(DF/ED)^2=(√3/√2)^2=3/2 となるから(a)に代入すれば ∴△DFP:△FEP=1:((3/2)-1)=1:(1/2)=2:1 ... (答)

rafurannsu0508
質問者

お礼

間違った問題文にもかかわらず、丁寧な回答を頂き、心よりお礼を申し上げます。優しさに心よりお礼を申し上げます。ありがとうございました。

rafurannsu0508
質問者

補足

何度も記入ミスをして、すみません。ありがとうございます。書いていただいた通り「三角形DEPと三角形FEPの比を求めよ」が問題文です。

その他の回答 (4)

  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)
回答No.4

(1)⊿DEFを取り出して考えます。 EF=6, ED=6√2, DF=6√3は解りますか。 EP⊥DFなので三平方の定理を使うことを考えます。 EP=h, DP=xとおくとPF=6√3-x h^2+x^2=(6√2)^2=72 (1) h^2+(6√3-x)=6^2=36 (2) (1)-(2)より 12√3x-108=36 x=4√3, h=√(72-x^2)=2√6 つまり EP=2√6, DP=4√3, FP=2√3 ⊿DEP/⊿FEP=DP/FP=2/1 (2)底面EFGと点Pの距離、すなわち高さHを求めます。Pから面EFG に垂線を下ろし、その足をQとするとPQ=Hです。 PQ/HD=PF/DF は解りますか。これより PQ=6*2√3/6√3=2 ⊿EFG=6*6/2=18 四面体PEFG=(1/3)H*⊿EFG=(1/3)*2*18=12

rafurannsu0508
質問者

お礼

迅速に、また丁寧な回答をして頂き、本当にありがとうございました。また間違った問題文にもかかわらず、丁寧な問い合わせをして頂き、心よりお礼を申し上げます。ありがとうございました。

  • Nouble
  • ベストアンサー率18% (330/1783)
回答No.3

比は1対1です 理由は ⊿DEFが 少なくとも二等辺三角 で、あり 線分EPと線分DFが 設問より直交しているから です。 此等により、 2三角形間の合同が 容易に言い得ます 2等辺三角形において 底辺に成す 各々の2角は 角度が同じ 線分に直交する と、いう事は 180°を90°毎に 均等に二分する と、いう事 詰まり両者の角度は同じ 三角形の内角の和は常に同じ 故に残る1つの角づつも同じ 比較する2三角形において 其の相対する角の 各々の角度が、全て同じ 故に相似 更に、 相似な三角形において 同位置の辺の長さ 其れも たった一組でも同じ ならば 其の2三角形間の 全ての比も同一 故に合同 すべに述べた通り 形か同じ〈相似より〉で、比も1対1 ならば 一組の辺に限らず 全てにおいても 比が1対1 つまり、 両者の面積比は 前出の通り です。

rafurannsu0508
質問者

お礼

丁寧な回答をして頂き、心よりお礼を申し上げます。ありがとうございました。

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.2

(1) △DEPと△FEPの何を求めるか、分からない。 問題文の一部が抜けていませんか? 補足にそれを書いていただけませんか? もし面積を求めるのであれば DE=√(AD^2+AE^2)=√(6^2+6^2)=6√2 [cm] ... (※1) DF=√(EF^2+DE^2)=√(6^2+2*6^2)=6√3 [cm] △DEP∽DFEより EP/FE=DE/DF → EP=DE*FE/DF=6√2*6/(6√3)=2√6 [cm] DP/DE=DE/DF → DP=DE^2/DF=(√2*6)^2/(6√3)=4√3 [cm] ... (※1) ∴△DEPの面積=DP*EP/2=4√3*2√6/2=12√2 [cm2] ... [答1] △DEP∽△DEF,, 相似比=DE/DF=√3/√2より △FEPの面積=(△DEFの面積)-(△DEPの面積) =(△DEFの面積)-(√2/√3)^2*(△DEFの面積) =(1-(2/3))(△DEFの面積) =(1/3)*EF*DE/2 =(1/3)*6*6√2/2=6√2 [cm2]  ... [答2] (2) 四面体PEFGの体積=(1/3)*(△EFGの面積)*(三角錐PEFGの高さ) =(1/3)*(6*6/2)*(DH*(PF/DF)) =(1/3)*18*6*(DF-DP)/DF =36*(1-DP/DF) (※1)より DP=4√3 [cm] =36*(1-(4√3)/(6√3))=12 [cm3] ... [答]

rafurannsu0508
質問者

お礼

丁寧に回答をして頂き、心よりお礼を申し上げます。また問題文が間違っているにもかかわらず、優しく回答して頂き、心より感謝申し上げます。ありがとうございました。

rafurannsu0508
質問者

補足

回答ありがとうございます。問題文の文書が不足していて、すみません。(1)は、「三角形DFPと三角形FEPの比を求めよ。」です。どうぞよろしくお願いします。

  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)
回答No.1

>(1)三角形DEPと三角形FEPを求めよ 何を求めるの?

rafurannsu0508
質問者

お礼

間違った問題文なのに、優しく対応して頂き、心よりお礼申し上げます。ありがとうございました。

rafurannsu0508
質問者

補足

回答ありがとうございます。問題文の文書が不足していて、すみません。(1)は、「三角形DFPと三角形FEPの比を求めよ。」です。どうぞよろしくお願いします。