相似比の問題です

質問

相似の問題がわかりません。問題1,2は大丈夫なのですが3でつまずきました。解答の()でくくってある部分が質問となっておりますのでよろしくお願いします。（実際は図形が書かれてあるのですが、パソコンでの作図の仕方がわからないのでなんとか文章で…。）

一辺の長さ１２の立方体がある。
頂点A,B',C'（Aのとなりの頂点がB',C'です）C'の上に点CがありCC'=9、B'の上に点BがありBB'=9（C',B'のは辺上の点です）
頂点Aおよび辺上の２点B,Cを通る平面αで立方体を切るとき（切り口は五角形）次の問いに答えよ。

1. cos∠BACの値　→9/25
2. △ABCの面積　→18√34
3. 切り口の面積　

3の解答
　平面αと立方体の上側の面との交わりをPQとする。PQは辺との交点である。
　直線ABと直線CQは立方体の向かい合った面とαの交わりなのでAB//CQ
　同様にBP//AC
　　　一方で直線BPと直線CQは交わり、この点をDとするとAB=ACであるから四角形　ABCDはひし形となる。
　PQ//BCより△DPQ∽△DBC
AB;BP=9;3=3;1よりDP;DB=2;3 　
（ここが全くわかりません。なぜAB;BPが3;1とすぐにわかるのでしょうか？）
　したがって、切り口の五角形の面積は
　△ABC＋△DBC－△DPQ＝28√34

あとなぜ切り口は五角形だとわかるのでしょうか？（実際は問題文中には記載されてないので）
よろしくお願いします。

（センター試験　傾向と対策IAIIB P59 静岡大　の問題）

回答No.2

KayAi · ベストアンサー

立方体を頂点Aを手前にして、B',C'が左右に広がるひし形が上面になる形(箱を真正面ではなく斜めから見た形)で書いてみて下さい。その図に点B,点Cを取り、AとB,AとCをそれぞれ結びます。この3点を通る平面αは当然のことながら、途中で折れ曲がることなく、まっすぐです。それがどういうことなのかが分かれば、切り口が五角形になるのはさほど難しくありません。まず、先ほど書いた図の右側の側面(点A,C',Cを含む面と点C',Cを含む面)をつなげた形で展開した長方形を書き、点Aと点Cをつなぐ直線を引いてみましょう。それが、平面αの作る切り傷です。(左側の側面も同様)長方形の下辺と直線ACとの交点が解答では点Q(左側では点P)となっているのです。ここで立方体の底面に注目すると、先ほどの点P,点Qがあり、それを結ぶ直線もまた平面αの作る切り傷です。ここまで分かれば、五角形は見えてくるのではないでしょうか。分かりにくければ、初めに書いた立方体に点P,Qを加えてつなげてみたり、展開した長方形を元に戻してみるといいかも知れません。
相似比については、長方形の中の2つの三角形の相似を考えれば分かるはずです。ヒントとしては、点Dは直線ACをさらにのばして、三角形AC'Cと合同となる三角形CQDを長方形の図に書いたものとなります。頑張って解いてみて下さい。

お礼

展開したら解けました。ありがとうございます。

回答No.3

noname#71905

●文の{Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ'，Ｃ’Ｐ，Ｑ，Ｄ}では語句による説明に不足なので、設定し直します。
一辺の長さ１２の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、辺ＢＦ，ＤＨを 3：1 に内分する点を、Ｍ，Ｎとする。
……ＢＭ＝ＤＭ＝9，ＭＦ＝ＮＨ＝3
頂点Ａおよび辺上の２点Ｍ，Ｎを通る平面αで立方体を切るとき
……平面αとＦＧ，ＨＧとの交点をＰ，Ｑとし、ＭＰ，ＮＱの交点をＲとする
（ＲはＣＧの延長上になります)
1．cos∠ＭＡＮ＝9/25、2．△ＡＭＮ＝18√34、3．切り口の面積？
●切り口
Ａ，Ｇ，{ＢＦの中点}，{ＤＨの中点}の４点を通る切断面はひし形になります。
そこから、Ａ，Ｍ，Ｎを通る切断面が５角形になることが想像できると思います。
さらに、ＢＭ＝ＤＭ＝9 から直方体ＡＢＣＤ－ＩＪＲＫ(ＡＩ＝ＢＪ＝ＣＲ＝ＤＫ＝18)を考えると
【一辺15，対角線ＭＮ＝12√2，ＡＲ＝6√17】のひし形ＡＭＲＮが出来ます
その中の五角形ＡＭＰＱＮが求める切り口になります。
●面積
△ＭＪＲ≡△ＭＢＡ，△ＭＪＲ∽△ＭＦＰで、ＭＪ＝9，ＭＦ＝3から
ＭＲ(ＡＭ)：ＭＰ＝3：1　で、ＲＰ：ＲＭ＝3：2
ＭＮ//ＰＱから、△ＲＭＮ∽△ＲＰＱで、相似比3：2
△ＡＭＮ＝△ＲＭＮ＝(1/2)ひし形ＡＭＲＮ＝18√34
△ＲＰＱ＝(2^2/3^2)△ＲＭＮ＝8√34
よって、(18√34)＊(2)－8√34＝28√34

回答No.1

debut

＞（C',B'のは辺上の点です）
　？？？

問題文が読み取れなかったので誤りがあったらすみませんが。

ＡＣの線をＢＰがある面の方に平行移動してみてください。
ＡＣ//ＢＰとＡＣ＝ＡＢ，そしてＢから上の頂点までの３cm、
Ｃが移った所から下の頂点までの長さ９cmを考えれば
ＡＢ：ＢＰ＝９：３です。

＞あとなぜ切り口は五角形だとわかるのでしょうか？

Ｂ，Ｃがもし中点ならば、Ａ，Ｂ，Ｃを通る面で切ると、Ａの
対角にあたる頂点を通るから、切り口は菱形ですよね？
Ｂ，Ｃはそれより上にある点なので、Ａの対角にあたる頂点
の手前で立方体の辺を切ります。だから五角形です。

説明が非常に面倒になるし、問題文の意味もあやふやになって
しまうので、立方体全部の頂点に記号をつけて質問してください。